МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Все цифры натурального числа различны. Найдите наибольшее возможное количество его цифр, которые равны сумме своих двух соседей.

Какой может быть дробная часть числа a + b + c, если {a + b} = {b + c} = {c + a} = ¹/₃?

Любые четыре из некоторых десяти гирек перевешивают любые три другие из этих гирек. Верно ли, что любые три из этих десяти гирек перевешивают любые две другие?

Шехерезада стала учительницей математики и задала школьникам на дом 1001 задачу. За каждую решённую задачу она начисляла 2 балла, за каждую неправильно решённую задачу штрафовала на один балл, а за каждую задачу, которую ученик не решал, штрафовала на пятьдесят баллов. Шахрияр правильно решил меньше 900 задач и набрал 1514 баллов. Сколько задач правильно решил Шахрияр?

Как-то раз один из пяти юных чекистов замочил тысячу врагов народа. Рассказывая об этом Вовочке, полвека спустя Андрей сказал: «Это Витя или Толя». Витя сказал: «Это не я и не Юра». Толя сказал: «Вы оба шутите». Дима сказал: «Нет, только один из них сказал правду». Юра сказал: «Нет, Дима, ты не прав». Вовочка знает, что по крайней мере трое из пяти чекистов на этот раз не соврали. Так кто же сказал правду, а кто соврал?

На дне рождения доктор Ватсон угощал гостей треугольным тортом, который он разрезал на 6 кусков по трём биссектрисам. Пришедшему последним Шерлоку Холмсу достался последний кусок в форме прямоугольного треугольника. Холмс заявил, что торт имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли он?

Число 1,5 в 4 раза меньше суммы своих цифр. Придумайте число, которое в 8 раз меньше суммы своих цифр.

Калиф Гарун-аль-Рашид одарил троих придворных астрологов десятью кошельками. Мудрецы, сев подсчитывать доход, обнаружили, что один из кошельков пуст, во втором лежит одна таньга, в третьем — две, и так далее до десятого, в котором оказалось девять таньга. Гусейн Гуслия взял себе два кошелька. Абдурахман ибн Хоттаб и его брат Омар Юсуф поделили оставшиеся кошельки так, что более заслуженный и умудрённый годами Абдурахман получил бóльшую сумму денег. По дороге на Омара Юсуфа напали разбойники и отняли четыре кошелька, так что от подарка калифа осталось лишь 10 таньга. Какие кошельки достались Гусейну Гуслия?

В распоряжении юного паркетчика имеются 10 одинаковых плиток, каждая из которых состоит из 4 квадратов и имеет форму буквы Г. Может ли он составить из них прямоугольник размером 5×8? (Плитки можно поворачивать, но нельзя переворачивать: например, на рисунке красные плитки ориентированы не так, как остальные.)

Какая из дорог, ведущих из A в B, длиннее: состоящая из нескольких полуокружностей или из одной?