|
Избранные задачи домашней олимпиады А.В. Спивака
для 6–8 классов.
2002–2003 учебный год.
Часть III
|
21.
| Состоялся волейбольный турнир в один круг (каждая из участвовавших команд сыграла с каждой другой один раз; ничьих в волейболе не бывает). Будем говорить, что команда A не слабее команды B, если A выиграла у B или есть такая команда C, которая проиграла команде A и победила команду B. Докажите, что выигравшая турнир команда не слабее никакой другой. | Указание I
Указание II | Указание I. Решите задачу «от противного», то есть предположите, что выигравшая турнир команда A слабее некоторой участвовавшей в турнире команды B, и получите противоречие. | |
| Указание II. Команда A слабее команды B, если A проиграла команде B и, кроме того, если любая другая команда C, либо выиграла у команды A, либо проиграла команде B. Поэтому если команда A слабее команды B, то команда A набрала очков меньше, чем команда B. | |
|
| |
22.
| Разложение числа n в сумму натуральных слагаемых назовём правильным, если всякое число от 1 до n – 1 можно получить вычёркиванием из этой суммы части слагаемых, причём единственным образом. (Например, 1 + 1 + ... + 1, 1 + 1 + ... + 1 + 13 и 1 + 2 + ... + 2 — правильные разложения числа 25.)
а) Найдите хотя бы шесть правильных разложений числа 29.
|
Указание
Ответ |
Указание. Можно взять двадцать девять единиц. Можно — одну единицу и четырнадцать двоек. Можно — четырнадцать единиц и один раз число пятнадцать. Существует ещё 10 способов. Ищите! | |
| Ответ. В правом столбце таблицы выписаны все 13 правильных разложений числа 29.
| 30 | 1 + 1 + ... + 1 + 1 (29 единиц) |
| 2 · 15 | 1 + 2 + ... + 2 + 2 (14 двоек) |
| 15 · 2 | 1 + 1 + ... + 1 + 15 (14 единиц) |
| 3 · 10 | 1 + 1 + 3 + 3 + ... + 3 (9 троек) |
| 10 · 3 | 1 + 1 + ... + 1 + 10 + 10 (9 единиц) |
| 5 · 6 | 1 + 1 + 1 + 1 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 |
| 6 · 5 | 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6 + 6 + 6 + 6 |
| 2 · 3 · 5 | 1 + 2 + 2 + 6 + 6 + 6 + 6 |
| 2 · 5 · 3 | 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 10 + 10 |
| 3 · 2 · 5 | 1 + 1 + 3 + 6 + 6 + 6 + 6 |
| 3 · 5 · 2 | 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 15 |
| 5 · 2 · 3 | 1 + 1 + 1 + 1 + 5 + 10 + 10 |
| 5 · 3 · 2 | 1 + 1 + 1 + 1 + 5 + 5 + 15 |
Заметьте: 29 + 1 = 30. Каждому разложению числа 30 на натуральные сомножители, отличные от числа 1, соответствует правильное разложение числа 29. (Подумайте, как именно устроено это соответствие!)
| |
|
б) Сколько правильных разложений у числа 1000?| Ответ
Указание | |
Указание. Число 1001 является произведением трёх разных простых чисел: 1001 = 7 · 11 · 13.
В пункте а) перечислены все правильные разложения
числа 29. По сути такой же ответ и для числа 1000.
| | |
| |
23. | Миша, Паша, Саша, Яша и Наташа провели турнир по настольному теннису, играя парами так, что каждые двое сыграли с каждыми двумя другими один раз. В результате Саша проиграл 12 игр, а Яша — 6. Сколько игр выиграла Наташа? (Ничьих в теннисе не бывает.) | Ответ
Решение | |
|
Решение. Поскольку Саша участвовал в 12 играх, то он все их проиграл. Яша выиграл 6 игр, которые он играл против пар, в которых участвовал Саша. Остальные 6 игр он проиграл. Значит, Наташа проиграла 3 игры, которые играла вместе с Сашей. Она выиграла 2 игры вместе с Яшей (против Саши и Паши и против Саши и Миши). Наташа с Мишей выиграли все 3 игры. Аналогично, Наташа с Пашей тоже выиграли все 3 игры. Таким образом, всего Наташа выиграла 8 раз. | |
|
| |
24.
| В остроугольном треугольнике наименьший угол составляет 1/5 наибольшего, величины всех углов составляют целое число градусов и все эти величины различны. Определите их.
(Напоминание. Сумма величин углов треугольника равна
180°.)
| |
25.
| Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: «Разность между числами прожитых мною месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна 111.» Когда он родился? | Ответ
Решение | Ответ. 16 января 1993 года. | |
|
Решение. Пусть мальчик прожил x лет и y месяцев.
Тогда 12x + y – x = 111,
то есть
11x + y = 11 · 10 + 1.
Если y = 12, то год назад разность между числом прожитых месяцев и прожитых полных лет была точно такая же и мальчик не смог бы утверждать, что разность оказалась равна 111 впервые. Значит, y < 12, то есть y = 1
и x = 10. | | |
| |
26.
| а) Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых — целое число сантиметров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника — тоже целое число сантиметров?
|
Ответ
Решение | |
| Решение. Например, число 8/3 не
целое, а средняя линия делит квадрат со стороной 2/3 на два прямоугольника, периметры которых равны 2. 
Можно разрезать на два квадрата со стороной 0,25 каждый прямоугольник размером 0,25×0,5. Есть и другие примеры. | |
|
б) Прямоугольник разрезан девятью вертикальными и девятью горизонтальными разрезами на 100 прямоугольников, периметр каждого из которых — целое число сантиметров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника — целое число сантиметров? | Ответ
Указание | | Указание. Сумма периметров «диагональной» цепочки прямоугольников равна периметру всего прямоугольника. | |
|
в) Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что эти квадраты не могут быть все разного размера. | Указание
Решение
| Указание. Если два квадрата из девяти находятся в одной горизонтали, то они имеют одинаковую высоту. | |
| Решение. Если два квадрата из девяти находятся в одной горизонтали, то они имеют одинаковую высоту, а будучи квадратами — и одинаковую ширину, так что в этом случае всё доказано. Точно так же можно рассуждать, если два квадрата окажутся в одной вертикали. Осталось рассмотреть третий случай, когда все квадраты находятся в разных строках и в разных столбцах. Тогда они попадают в девять столбцов из десяти и в девять строк из десяти, и остаётся одна свободная строка и один свободный столбец. В пересечении свободной строки и свободного столбца будет ещё один, десятый, квадрат. (В самом деле, ширину свободного столбца можно найти, вычтя сумму ширин девяти квадратов из ширины большого квадрата. Точно так же высота свободной строки равна разности высоты большого квадрата и суммы высот девяти квадратов. А высота любого квадрата равна его ширине.) Но по условию десятого квадрата нет, так что третий случай невозможен. | |
|
| |
27.
| Найдите наименьшее четырёхзначное число а) СЕЕМ; б) BACK; в) BEEP, для которого существует решение ребуса а) МЫ + РОЖЬ = СЕЕМ; б) BACK + IN = USSR; в) ЗВУК + ОЙ = BEEP.
| |
28.
| Атос, Портос, Арамис и Д'Артаньян по жребию делятся на две армии по два человека в каждой. Д'Артаньян и Атос хотят оказаться вместе. С какой вероятностью это произойдёт?
| |
29. |  Иванушка увидел двух двухголовых дракончиков, головы которых спутались. Драконы бывают либо правдивые, все головы которых говорят только правду, либо лживые, все головы которых всегда лгут. Иванушка решил помочь дракончикам распутать головы. Но для этого полезно знать, где чья голова. Он спросил это у них и услышал в ответ:
- Первая голова: «Я — правдивая голова».
- Вторая голова: «Третья голова — моя родная голова».
- Третья голова: «Вторая голова — не родная мне голова».
- Четвёртая голова: «Третья голова — лживая».
Какая голова родная первой голове?
| Ответ
Решение | | Решение. Если вторая голова правдивая, то третья голова родная второй голове, третья голова правдива, а это противоречит словам третьей головы. Значит, вторая голова лживая, третья голова не родная второй, третья голова правдивая, а четвёртая (обвинившая третью голову в лживости) лживая. Итак, вторая и четвёртая головы лживые, а третья и первая — правдивые. Поэтому третья голова родная первой голове. | |
|
| |
30.
| У крестьянина были коза, корова, кобыла, стог сена и сын. Сын подсчитал, что сена хватит козе и кобыле на месяц, кобыле и корове на 1/3 месяца, а корове и
козе — на 3/4 месяца. Отец сказал, что сын плохо учится в школе. Прав ли он?
|
Ответ
Решение | |
|
Решение.
Система уравнений
1/(x + y) = 1,
1/(y + z) = 1/3,
1/(z + x) = 3/4
не имеет решений в положительных числах. Можно обойтись и без уравнений: за месяц кобыла и корова, по мнению сына, съедают 3 стога сена, а коза и кобыла вместе с такой же козой и коровой съедают 1 + 4/3 = 2 1/3 < 3 стогов. | |
|
|
|
