МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им: «Я дам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не сможете. Иногда я буду кого-то из вас отводить в комнату («красный уголок»), где есть лампа. Уходя из комнаты, вы можете оставить лампу хотите включённой, хотите — выключенной. Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в комнате, и окажется прав, то я всех выпущу на свободу. А если он ошибётся — скормлю крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-то забуду: если будете молчать, то вы все побываете в комнате, причём ни для кого никакое посещение комнаты не станет последним». Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение, если лампа изначально а) выключена; б) неизвестно, включена или выключена.

Какое наибольшее количество брусков размером 1×2×2, не имеющих общих внутренних точек, можно расположить в кубе размером 3×3×3?

Робинзон Крузо поручил Пятнице провести перепись собак, кошек, коз и попугаев. Пятница решил отмечать каждую собаку палочкой, кошку — палочкой и ноликом, козу — двумя ноликами. Может ли Пятница отмечать каждого попугая какой-нибудь последовательностью из палочек и кружочков, чтобы по его отчёту (Пятница пишет слева направо подряд без пробелов) Робинзон мог однозначно установить, сколько каких животных приняли участие в переписи?

На столе стоят 11 блюдец, первоначально пустых. Два игрока ходят поочерёдно. Ход состоит в том, чтобы положить по одной копейке в каждое из 10 блюдец. Выигрывает тот, после чьего хода впервые в каком-то блюдце соберётся 21 копейка. Может ли игрок, положивший копейки первым, обеспечить себе выигрыш?

Точка M — середина основания BC равнобедренного треугольника ABC. На боковых сторонах AB и AC отмечены точки U и V соответственно так, что AU не равно AV и MU = MV. Докажите, что величина угла UMV вдвое больше величины угла АBС.
 

На плоскости нарисовали три окружности, разбивающие плоскость на 8 частей. В каждую из семи ограниченных частей написали число 1. За одну операцию разрешено сменить внутри любой из окружностей все знаки на противоположные или (опять-таки внутри некоторой окружности) возвести числа в квадрат. Можно ли за несколько таких операций добиться ситуации, когда в области, являющейся пересечением всех трёх кругов, будет число –1, а в остальных шести ограниченных областях будут единицы?
 

На полосу положили квадрат, сторона которого равна ширине полосы. Граница квадрата пересекла границу полосы в четырёх точках. Докажите, что прямые, проходящие накрест через эти точки, пересекаются под углом 45°.

Выпишите первые двадцать натуральных чисел в таком порядке, чтобы никакая сумма нескольких подряд написанных чисел не делилась на 20. (Достаточно одного способа.)

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске?

В телеконкурсе участвовали 8 юношей и 8 девушек. Каждый юноша поссорился с 14 участниками передачи, а каждая девушка — с 7 участниками. (Ссоры взаимные.) Докажите, что из участников передачи можно сформировать 8 пар, каждая из которых состоит из не поссорившихся между собой девушки и юноши.