|
Избранные задачи домашней олимпиады А.В. Спивака
для 6–8 классов.
2002–2003 учебный год.
Часть V
|
41.
| Может ли каждое из некоторых четырёх различных натуральных чисел делиться на разность любых двух из трёх остальных?
| Ответ
Решение | |
Решение. Если a < b < c < d — данные числа, то числа b и c по условию должны делиться на d – a. Но тогда и разность c – b должна делиться на d – a, хотя 0 < c – b < d – a. | |
|
| |
42. | При каком наибольшем n можно расставить на шахматной доске n ферзей, n королей и n слонов так, что ни одна из фигур не бьёт другую? | Ответ
Указание
Решение
| |
|
Указание. 5 ферзей, 5 слонов и 5 королей расставить невозможно. Ведь если на доске стоят даже не 5 ферзей, а 5 ладей, которые не бьют друг друга, то свободны от ладей лишь 3 горизонтали и 3 вертикали, на пересечении которых стоят лишь 3 · 3 = 9 клеток, а королей и слонов 5 + 5 = 10 > 9. | |
| Решение. Пример нужной расстановки получим, поставив королей на поля a1, a8, h1 и h8, ферзей — на b3, d7, e2 и g6, слонов — на a5, c5, f4 и h4. | |
|
| |
43.
| Клетки тетрадного листа покрашены в 5 цветов так, что всякие две соседние по стороне клетки — разного цвета. Назовём пару цветов соседствующей, если некоторые две соседние по стороне клетки покрашены именно в эти цвета. Найдите наименьшее возможное количество соседствующих пар цветов. | Ответ
Начало решения
Конец решения | |
|
Начало решения. Легко покрасить лист в 5 цветов: например, можно одну диагональ покрасить в первый цвет, соседние в ней диагонали — во второй цвет, соседние с ними — в третий, соседние с ними — в четвёртый, соседние с ними — в пятый, соседние с ними — в четвёртый, соседние с ними — в третий, и так далее. | | | Конец решения. Доказать, что меньше 4 соседствующих пар не бывает, тоже очень легко: связный граф
на 5 вершинах не может иметь менее 4 рёбер. | |
|
| |
44. | Некоторые числа представимы в виде суммы abc +
ab + a, а некоторые — нет. (Например, число 1101 представимо, поскольку 1101 = 993 + 99 + 9.) Сколько существует трёхзначных чисел, представимых в виде суммы abc +
ab + a?
| Ответ
Решение | |
| Решение. Поскольку всего трёхзначных чисел 900 штук, а в интересующем нас виде никакое число не представимо более чем одним способом, то достаточно заметить, что неравенству
abc
+ ab
+ c < 999
удовлетворяют в точности те числа abc, которые начинаются с цифры 9, кроме числа 900. | |
|
| |
45. | Перед боем с врагами народа у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него в 9 раз больше патронов, чем у Петьки. Докажите, что изначально количество патронов у Василия Ивановича делилось на 71. | Решение
| |
Решение. Пусть до боя с врагами народа у Василия Ивановича было x патронов, а израсходовал он 8y патронов. Тогда перед боем у Петьки было тоже x патронов, а израсходовал он y патронов. Тогда
x – y = 9(x – 8y),
откуда
71y = 8x,
так что 8x делится на 71. Поскольку число 71 простое, из делимости числа 8x на 71 следует делимость на 71 и самого числа x. | |
|
| |
46.
| Найдите наименьшие возможные значения сторон изображённого на рисунке прямоугольника, который разбит на квадраты с целыми сторонами. 
| Ответ
Указание | |
|
Указание. Стороны всех квадратов выразите через стороны трёх самых маленьких из них. Приравняв друг другу выражения для противоположных сторон прямоугольника, решите полученную систему уравнений в натуральных числах. | |
|
| |
47. | Соревнуются 8 команд. Каждые две команды встречаются один раз; за выигрыш команды получают 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0. Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четвёрку?
| |
48. | а) В ряд выписали 101 целое чисел и вычислили все 100 сумм пар последовательных чисел. Может ли половина вычисленных сумм равняться числу 100, а половина — числу –100?
б) В ряд выписали 100 целых чисел и вычислили все 100 сумм троек последовательных чисел. Может ли половина вычисленных сумм равняться числу 100, а половина — числу –100?
| |
49. | Пусть n — натуральное число. Найдите наибольший общий делитель чисел n2 + 10n + 21 и
n2 + 9n + 18.
|
Ответ
Решение | |
| Решение. Воспользуемся формулами
n2 + 10n + 21 = (n + 3) · (n + 7)
и
n2 + 9n + 18 = (n + 3) · (n + 6).
Для любого натурального n число (n + 6) взаимно просто с числом (n + 7), поскольку на наибольший общий делитель делится разность этих двух чисел, а эта разность равна 1. | |
|
| |
50. |  Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на 4 конгруэнтные части несколькими разными способами. (Резать можно только по сторонам клеточек.)
|
I способ
II способ
III способ
IV способ
|
I способ.
| |
|
II способ.
| |
|
III способ. 
| |
|
IV способ.
| | |
|
|
