![]() |
||
![]() |
МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ | |
![]() |
![]() |
|
![]() |
Кружок 9-11 классовРуководители Андрей Леонидович Канунников и Степан Львович Кузнецов
2009/2010 учебный год Тема 2. Центр масс и его применение для решения геометрических задачЗадача. Старый пират зарыл клад на острове среди 20 деревьев. После этого он написал завещание, в котором указал, как искать клад: надо встать к первому дереву, пройти половину расстояния до второго дерева, затем повернуть к третьему и пройти треть расстояния до него, и т. д., наконец, повернуть к двадцатому и пройти двадцатую часть расстояния до него. К сожалению, пират забыл указать, как занумерованы деревья! Сколько разных ям придётся выкопать потомкам пирата, чтобы всё-таки найти клад? Ответ.
Одну. Клад находится в центре масс этих 20 точек с единичными весами (определение см. дальше).
Определение. Центром масс системы точек A1, …, An с массами
m1, …, mn (далее используется обозначение (A1, m1), …, (An, mn)) называется такая точка O, что
Обычно считается, что все массы положительны, однако вся теория работает и в случае, когда допускаются массы произвольного знака при условии, что m1 + … + mn ≠ 0. Теорема 1 (о существовании). Для любой системы точек (A1, m1), …, (An, mn) центр масс существует. Доказательство.
Пусть X — произвольная точка (начало координат). Тогда центром масс
O рассматриваемой системы точек задаётся радиус-вектором:
![]() Теорема 2 (о единственности). Центр масс системы точек единствен. Теорема 3 (о группировке масс). Центр масс системы точек (A1, m1), …, (An, mn), (B1, M1), …, (Bk, Mk) совпадает с центром масс системы точек (A1, m1), …, (An, mn), (C, M), где C — центр масс системы точек (B1, M1), …, (Bk, Mk), а M = m1 + … + mk. С помощью центра масс можно легко доказать некоторые теоремы элементарной геометрии, например: Теорема (о пересечении медиан). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Теорема (о пересечении биссектрис). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Подсказка.
Воспользуйтесь теоремой о биссектрисе: если BD — биссектриса,
то AD:DC = AB:BC.
Теорема Чевы. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Тогда отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда Такие отрезки AA1, BB1 и CC1 называются чевианами. Теорема Ван-Обеля. Пусть K — точка пересечения чевиан AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC. Тогда Ещё несколько задач про центр масс
ЛитератураВ. В. Прасолов. Задачи по планиметрии, гл. 14. |
![]() |