МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 12 (11 февраля 2017 года)

1.

Тринадцатиугольный торт разрезали по нескольким непересекающимся диагоналям так, что все куски получились треугольными. Сколько кусков могло получиться? (Укажите все возможные варианты.)

2.

В этой задаче буквы А, Б и В заменяют разные цифры. Произведение цифр числа АББ равно АВ, а произведение цифр числа АВ равно В. Найдите число АББ.

3.

Можно ли сделать верным равенство К×О×Т = У×Ч×Ё×Н×Ы×Й, подставив вместо букв цифры от 1 до 9 (разным буквам должны соответствовать разные цифры)?

4.

Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на четыре одинаковых (не только по площади, но и по форме) части.

5.

Из клетчатого квадрата вырезали (по линиям сетки) клетчатый квадрат. Осталось 60 клеток. Каким мог быть размер исходного квадрата?

6.

На олимпиаде предлагалось 100 задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.

7.

Наташа сделала из листа клетчатой бумаги календарь на январь 2017 года (см. рисунок справа) и заметила, что центры клеток 10, 20 и 30 января образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Наташа предположила, что это будет верно и в любом другом году, за исключением тех лет, когда центры клеток 10, 20 и 30 лежат на одной прямой. Права ли Наташа?

Дополнительные задачи

8.

Найдите наибольшее шестизначное число, в записи которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.

9.

Можно ли все натуральные числа от 1 до 100 выписать в строчку так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитается меньшее) была не меньше 50?