МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 10 (10 декабря 2016 года). Игра «Ом-ном-ном»

Правила игры

1-й пакет

1.

(1 балл) Разделите какой-нибудь четырёхугольник на шесть частей, проведя всего лишь две прямые.

Подсказка

Подсказка. Четырёхугольник невыпуклый.

2.

(2 балла) Женя не успел влезть в лифт на первом этаже дома и решил пойти по лестнице. На третий этаж он поднимается за 2 минуты. Сколько времени у него займёт подъем до девятого этажа?

Ответ

Ответ. 8 минут.

3.

(2 балла) В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй — 80; третий — среднее арифметическое очков первых двух; четвёртый — среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 50-й стрелок?

Ответ

Ответ. 70.

4.

(2 балла) Найдите какие-нибудь три натуральных числа x, y и z, удовлетворяющие условию 28x + 30y + 31z = 365.

Ответ

Ответ. Например, x = 1, y = 4, z = 7. Возможны и другие ответы!

5.

(2 балла) Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?». «Семь,» — отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» — опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять,» — отвечает тот. «Правильно,» — снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

Ответ

Ответ. 12 (7 на одной стороне листке, 5 на другой).

6.

(3 балла) В номерах всех страниц словаря в общей сложности 492 цифры. Сколько страниц в словаре?

Ответ

Ответ. 200.

2-й пакет

В каждой из задач требуется указать все возможные варианты!

7.

(2 балла) В комнате дед, два отца, два сына и два внука, причём это дед, отцы, сыновья и внуки людей, находящихся в комнате. Сколько людей может быть в комнате?

Ответ

Ответ. 4, 5, 6 или 7.

8.

(3 балла) Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 73. Какое число мог задумать Вася?

Ответ

Ответ. 12.

9.

(3 балла) В строчку написано 37 чисел так, что сумма любых шести подряд идущих чисел равна 29. Первое число 5. Каким может быть последнее число?

Ответ

Ответ. 5.

10.

(3 балла) Четыре мецената пожертвовали театру 132 тысячи рублей. При этом второй пожертвовал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего. Сколько пожертвовал четвёртый?

Ответ

Ответ. 96 тыс. руб.

11.

(3 балла) Каждый из 12 человек — либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо всегда лгущий лжец. Один из них сказал: «Число лжецов среди нас делится на 1», второй: «Число лжецов среди нас делится на 2», ..., 12-ый: «Число лжецов среди нас делится на 12». Сколько среди них может быть рыцарей?

Ответ

Ответ. 3, 4 или 12.

12.

(4 балла) Иван Юрьевич жил в однокомнатной квартире. Комната была квадратной и длины её сторон выражались целым числом метров. Недавно он обменял её на двухкомнатную квартиру той же площади. Одна из комнат имеет площадь 7 м 2 , а другая — вновь квадратная, и длина её стороны — целое число метров. Какая площадь этой квартиры?

Ответ

Ответ. 16.

3-й пакет

В каждой из задач требуется указать все возможные варианты!

13.

(3 балла) В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Ответ

Ответ. В чашке лимонад, в стакане вода, в кувшине молоко, в банке квас.

14.

(4 балла) Дана клетчатая доска 10×10. За ход разрешается покрыть любые две соседние клетки доминошкой так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Чтобы сдать эту задачу, обыграйте принимающего!

15.

(4 балла) Найдите углы треугольника, если известно, что градусная мера каждого из них — квадрат натурального числа.

Ответ

Ответ. 16°, 64°, 100°.

16.

(4 балла) Сколько существует трёхзначных чисел, у которых сумма цифр больше произведения цифр?

Ответ

Ответ. 199.

17.

(4 балла) В ряд высадили 12 деревьев. Затем между каждыми двумя посаженными деревьями посадили еще по одному дереву. Затем эту операцию проделали еще три раза. Сколько всего деревьев посажено?

Ответ

Ответ. 177.

18.

(5 баллов) Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис – 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?

Ответ

Ответ. 11, 29, 21 или 19 лье.

4-й пакет

19.

(4 балла) На прозрачном столе стоит куб 3×3×3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?

Ответ

Ответ. 12.

20.

(5 баллов) Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 и 14.

Ответ

Ответ. 56 или 70.

21.

(5 баллов) Найдите все числа, которые уменьшаются в 12 раз при зачеркивании в них последней цифры.

Ответ

Ответ. 12, 24, 36, 48.

22.

(5 баллов) На доске написано 10-значное число. Каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 23 или на 17. Последняя цифра равна 1. Найдите первую цифру числа.

Ответ

Ответ. 4.

23.

(5 баллов) Найдите наименьшее число, произведение цифр которого равно 2016.

Ответ

Ответ. 4789.

24.

(6 баллов) Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире №333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Ответ

Ответ. 3-й этаж.