МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 3 класса

Руководитель Александра Ефремовна Подгайц
2015/2016 учебный год

Занятие 16 (5 марта 2016 года). Принцессы и тигры

Мы путешествуем по острову, на котором на каждом шагу расставлены домики, в каждом домике — две комнаты (или больше), в каждой комнате сидит либо страшно голодный тигр, либо невероятно умная принцесса. В каждой из комнат всегда кто-то один. Нужно при помощи оставленных на дверях надписей определить, где кто. Но берегитесь! Не все надписи правдивы!
Может быть так, что в обеих комнатах кто-то одинаковый. Во всех задачах нужно не только найти подходящую комбинацию, но и доказать, почему другие варианты не подходят.
Почти все задачи взяты из книги Р.Смаллиана “Принцесса или тигр?”

1.: В первом домике на одной из дверей написана правда, на другой — ложь.
«В обеих комнатах по тигру.»
«В этой комнате тигр.»
Решение

Решение. Если на 1 правда, то на 2 тем более правда. Значит, на 1 ложь, а на 2 правда. То есть в 1 комнате принцесса, во 2 тигр.
2.: Здесь снова на одной из двух дверей написана правда, а на другой — ложь.
«В этой комнате находится принцесса, а в другой комнате сидит тигр.»
«В одной из этих комнат находится принцесса; кроме того, в одной из этих комнат сидит тигр.»
Решение

Решение. Если на 1 правда, то на 2 тем более правда. Значит, на 1 ложь, а на 2 правда. Значит, в 1 тигр, во 2 принцесса.
3.: А в этом домике либо на обеих дверях написана святая истина, либо на обеих — подлая ложь.
«По крайней мере в одной из этих комнат находится принцесса.»
«Тигра здесь нет.»
Решение

Решение. Если обе надписи истинны, значит, во 2 комнате принцесса, а в 1 может быть как тигр, так и принцесса. Если обе ложны, значит, в обеих комнатах тигр. Получается, здесь три варианта: ТП, ПП, ТТ.
4.: Здесь снова либо на обеих дверях правда, либо на обеих — ложь.
«В обеих комнатах тигры.»
«Тигра здесь нет.»
Решение

Решение. Если на первой двери правда, то на второй должна быть ложь. Значит, на первой ложь, и на второй тоже ложь. Получается, в 1 комате принцесса, во 2 тигр.
5.: Здесь условие хитрее:
Если в первой комнате принцесса, то на первой двери написана правда, а если там тигр — ложь. Если во второй комнате принцесса, наоборот, на второй двери написана ложь, а если тигр — правда.
«В обеих комнатах находятся принцессы.»
«В обеих комнатах находятся принцессы.»
Решение

Решение. Пусть в 1 комнате принцесса. Тогда там написана правда. Значит, во второй комнате принцесса. Значит, там написана ложь. Противоречие.
Пусть в 1 комнате тигр. Значит, там написана ложь. Значит, и на 2 комнате написана ложь, значит, там принцесса.
Значит, в 1 тигр, во 2 принцесса.
6.: В этом домике три комнаты. В одной комнате находится принцесса, а в двух других сидят тигры. Хотя бы два утверждения ложны.
I: «В этой комнате сидит тигр.»
II: «В этой комнате находится принцесса.»
III: «В комнате II сидит тигр.»
Решение

Решение. Заметим, что из 2 и 3 одно и только одно истинно. Значит, 1 точно ложно. Значит, там принцесса. Значит, во 2 тигр, и в 3 тигр (и табличка на 3 истинна).
7.: Здесь снова три комнаты. В одной комнате находится принцесса, а в двух других сидят тигры. Табличка на двери принцессы говорит правду, а из двух других хоть одна ошибочна.
I: «В комнате II тигр.»
II: «В этой комнате тигр.»
III: «В комнате I тигр.»
Решение

Решение. Пусть принцесса в 1 комнате. Тогда там написана правда. Значит, во 2 тигр, и там написана правда. Тогда надпись на 3 комнате ложна. Такое возможно.
Проверим, может ли принцесса быть во 2 комнате (это обязательно нужно проверить). Если это так, то там написана правда, значит, там тигр. Противоречие.
Теперь проверим, может ли принцесса быть в 3 комнате. Тогда там написана правда, в 1 и 2 тигр, и все надписи правдивы. Противоречие.
Получается, в 1 принцесса, в 2 и 3 тигры.
8.: 7. В одной из комнат находится принцесса, в другой сидит тигр, а третья комната пуста. Надпись на двери, где находится принцесса, истинна, надпись на двери, за которой сидит тигр, ложна, а то, что написано на табличке у пустой комнаты, может оказаться как истинным, так и ложным.
I: «Эта комната пуста.»
II: «В комнате III сидит тигр.»
III: «Комната I пуста.»
Решение

Решение. Заметим, что 1 и 3 говорят одно и то же. Пусть они обе истинны. Тогда 1 комната пуста, а в 3 не может быть тигр, значит, там принцесса. Тогда во 2 тигр и всё хорошо.
Если и 1, и 3 ложны: тогда в 1 кто-то есть, раз там ложная надпись, значит, тигр. Значит, 3 пуста. Значит, на 2 тоже ложная надпись, противоречие.
Получается, в 1 пусто, во 2 тигр, в 3 принцесса.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!