МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Дискретная непрерывность. 27 ноября 2010 года

1.

В 1954 году в Стокгольме проходил чемпионат мира по хоккею с шайбой. На нём впервые сыграла сборная СССР и сенсационно стала чемпионом мира. Финальный матч против команды Канады завершился со счетом 7 — 2. Докажите, что во время матча был момент, когда количество шайб, забитых канадскими хоккеистами, равнялось количеству шайб, которые осталось забить советских хоккеистам.

2.

В ряд выложено 50 белых и 50 черных шариков. Самый левый и самый правый шарики — белые. Докажите, что можно отсчитать несколько (но не все!) шариков, начиная с левого, так, чтобы среди них окажется поровну черных и белых.

3.

Последовательность целых чисел 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 42, 63, 94, ... начинается с двойки, а каждое следующее число получается из предыдущего умножением на ³/₂ и округлением по недостатку. Докажите, что в этой последовательности есть целое шестизначное число.

4.

На плоскости отмечены 10000 точек. Докажите, что найдется не проходящая через эти точки прямая, по одну сторону которой лежит ровно 2010 отмеченных точек.

5.

Журнал «Юный диверсант» выходит нерегулярно — два или три раза в год. На обложке стоит номер журнала и год выпуска: №1 — 2001, №2 — 2001, №3 — 2002, ... Докажите, что если редакцию не поймают, то рано или поздно выйдет номер, где два числа на обложке совпадут.

6.

На каждой клетке шахматной доски стоит по королю — белому либо черному, причем есть короли обоих цветов. Докажите, что есть белый король, который бьет черного.

7.

За круглом столом сидит 10 мальчиков и 10 девочек. Докажите, что найдется группа из 10 сидящих подряд детей, в которой девочек и мальчиков поровну.

Указание

Указание. Попробуйте самостоятельно организовать какой-то процесс. Так, например, можно посмотреть на 10 подряд идущих человек и на разность количества мальчиков и количества девочек в этой десятке.

8.

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001! + 2, 1001! + 3, ..., 1001! + 1001). А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел?

9.

Правильный 1001-угольник разбили непересекающимися диагоналями на 999 треугольников. Докажите, что среди этих треугольников по крайней мере три равнобедренных.

10.

2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n по порядку. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.