МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Векторы. 30 октября 2010 года

Вектором (или направленным отрезком) AB называется упорядоченная пара точек на плоскости (или, проще, отрезок, на котором задано направление).

Обозначение: AB, MN, PQ, ... или a, b, c, ...

Если точка A совпадает с точкой B, то такой вектор называется нулевым и обозначается как 0.

Длину вектора a будем обозначать через |a| или (реже) просто a.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два ненулевых коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными, если они направленны одинаково, и противонаправленными, если они направлены противоположно.

Два ненулевых вектора (т.е. два направленных отрезка) называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправленны.

Если вам дан вектор a и некая точка A на плоскости, то тогда можно отложить вектор a от точки A, т.е. построить на плоскости такую точку B, что AB = a.

Векторы можно складывать. Пусть нам даны векторы AB и BC. Тогда их суммой AB + BC называется вектор AC.

Векторы можно умножать на числа. Если вам дан вектор AB и некое действительное число α ≠ 0, то вектором α · AB называется вектор, сонаправленный AB, если α > 0, противонаправленный AB, если α < 0, и |α · AB| = |α| |AB|. Если же α = 0, то вектор α · AB считается нулевым.

Векторы можно вычитать. Вычесть AB значит добавить BA.

0.

Упростите выражение AB + DE + BC + EF + CD + FA.

1.

Пусть ABCD — параллелограмм. Докажите, что AB + AD = AC.

2.

Докажите, что для любых двух векторов a и b выполнено неравенство |a| − |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|$. Когда достигается равенство?

3.

a)

Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что для любой точки O на плоскости выполнено равенство OM = ½ (OA + OB).

b)

Пусть M делит отрезок AB в отношении x:y, считая от A. Докажите, что для любой точки O на плоскости выполнено равенство

OM	=	y · OA + x · OB	.
		x + y

c)

Найдите, в каком отношении медианы делятся в точке их пересечения.

4.

a)

Пусть A₁, B₁, C₁ — соответствующие основания медиан треугольника ABC. Докажите, что выполнено равенство AA₁ + BB₁ + CC₁ = 0.

b)

Докажите, что из отрезков AA₁, BB₁, CC₁ можно сложить треугольник.

5.

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что для любой точки O на плоскости выполнено равенство OM = ⅓ (OA + OB + OC).

6.

a)

В условиях четвертой задачи докажите, что A₁B₁ = ½ AB. Выведите из этого теорему о средней линии треугольника (о том, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине его длины).

b)

Докажите теорему о средней линии трапеции (о том, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме их длин).

8.

Пусть M и N — середины сторон AB и CD параллелограма ABCD, соответсвенно. Найдите, в каком отношении делится диагональ BD точками пересечения с отрезками AN и CM.

9.

На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка M так, что AM : AD = 1 : n; N — точка пересечения прямых AC и BM. Докажите, что AN : AC = 1 : (n + 1).

10.

Пусть A и C — середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D — середины двух других его сторон.

a)

Докажите, что отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам.

b)

Докажите, что для любой точки O на плоскости выполнено равенство OA + OC = OB + OD.