МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Геометрия масс. 11 ноября 2010 года

Пусть M — некоторая точка плоскости и m — ненулевое число. Материальной точкой (M, m) называется пара точка M с числом m, причем число m называется массой материальной точки (M, m), а точка M — носителем этой материальной точки.

Центром масс системы материальных точек (M₁, m₁), (M₂, m₂), ..., (M_n, m_n) называется такая точка Z, для которой имеет место равенство m₁ · ZM₁ + m₂ · ZM₂ + ... + m_n · ZM_n = 0.

1.

Основная теорема.

a)

Если точка Z является центром масс системы материальных точек (M₁, m₁), (M₂, m₂), ..., (M_n, m_n), причем m₁ + m₂ + ... + m_n ≠ 0, то для любой точки O справедливо равенство

OZ	=	m1 · OM1 + m2 · OM2 + ... + mn · OMn	.
		m1 + m2 + ... + mn

b)

Обратно, если для некоторой точки O выполняется это равенство, то точка Z — центр масс данной системы материальных точек.

2.

Для конечной системы материальных точек с ненулевой суммой масс существует и единственный центр масс.

Далее везде, говоря о системе материальных точек, мы будем предполагать, что сумма масс ее точек отлична от нуля.

3.

Правило рычага. Центр масс Z двух материальных точек (M₁, m₁), (M₂, m₂) с неотрицательными массами расположен на отрезке M₁M₂, причем m₁ · |M₁Z| = m₂ · |M₂Z|.

4.

Правило группировки. Пусть дана система материальных точек (M₁, m₁), (M₂, m₂), ..., (M_n, m_n) и пусть точка O — центр масс системы, состоящей из первых k материальных точек данной системы. Тогда центр масс данной системы совпадает с центром масс системы материальных точек

(O, m₁ + m₂ + ... + m_k), (M_{k + 1}, m_{k + 1}), ... (M_n, m_n).

5.

Какие массы надо поместить в вершины треугольника со сторонами a, b и c, чтобы центр масс полученной системы материальных точек оказался a) в точке пересечения медиан; b) в точке пересечения биссектрис; с*) в точке пересечения высот (ортоцентре); d*) в центре описанной окружности?

6.

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите (используя геометрию масс!), что для любой точки O на плоскости выполнено равенство OM = ⅓ (OA + OB + OC).

7.

В треугольнике ABC проведена медиана AM, точка P — ее середина. Прямая BP пересекает сторону AC в точке E. Найдите, в каком отношении точка E делит AC.

8.

Внутри треугольника ABC отметили точку O. Докажите, что точка O — центр масс системы (A, S_BCO), (B, S_ACO), (C, S_ABO).

9.

Точки, разбивающие каждую из сторон четырехугольника на три равные части, соединены естественным образом. Докажите, что a) каждый из полученных отрезков также разбивается точками пересечения на три равные части. b*) Площадь среднего четыреухгольника в девять раз меньше площади исходного.

Чевианой треугольника ABC называется произвольный отрезок, соединяющий его вершину с любой из точек противоположной стороны.

10.

Докажите при помощи масс теорему Ван-Обеля:
Чевианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке K. Докажите, что

AK	=	AB1	+	AC1	.
KA1		B1C		C1B