МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

а) Можно ли рассадить N + 1 кроликов по N клеткам так, чтобы в каждой клетке оказалось не более одного кролика? Б) Можно ли рассадить NK + 1 кроликов по N клеткам так, чтобы в каждой клетке оказалось не более K кроликов?
 

У человека на голове не более 400 000 волос. В Москве более 9000 000 жителей. Докажите, что найдутся по крайней мере 23 москвича с одинаковым числом волос на голове.
 

В лесу растут 362 ёлки. Докажите, что среди них найдутся либо 20 ёлок разной высоты, либо 20 ёлок одинаковой высоты.
 

а) В коробке есть карандаши разного цвета и есть карандаши разной длины. Обязательно ли найдутся два карандаша, отличающиеся и по цвету, и по длине? Б) В коробке есть карандаши разного цвета, есть карандаши разной длины и есть карандаши разной толщины. Обязательно ли найдутся два карандаша, отличающиеся по всем трём характеристикам?
 

Во время диктанта ученики класса сделали 211 ошибок. Федя сделал 20 ошибок, а остальные ученики - меньше. Докажите, что хотя бы два ученика сделали одинаковое количество ошибок.
 

Вера хочет выписать 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух, дающих в сумме 100. Сможет ли она это сделать?

Дополнительные задачи

Докажите, что в любом классе найдутся два ученика, имеющих одинаковое число друзей среди своих одноклассников.
 

а) Докажите следующее утверждение: если числа a и b дают одинаковые остатки при делении на n, то их разность делится на n нацело.

б) Докажите, что среди чисел вида 1111...111 хотя бы одно делится на 1234567.