МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В ковре размером 4×4 м моль проела 15 точечных дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать коврик 1×1 м, в котором нет дырок.
 

Можно ли расположить на столе несколько одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась трёх других (класть монеты одна на другую не разрешается)?

Ответ Указание

Четверо кузнецов должны подковать 5 лошадей. За какое наименьшее время они могут это сделать, если на одну подкову затрачивают 5 минут, а лошадь не может стоять на двух ногах?
 

На доске 8×8 стоит ферзь. Он может ходить на любое число клеток вправо, на любое число клеток вверх и на любое число клеток по диагонали вправо-вверх. Играют двое, по очереди совершая ход ферзем. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Для каждой клетки доски определите, кто выиграет при правильной игре, если в начале игры ферзь стоит на данной клетке. Отметьте знаками «+» клетки, выигрышные для первого игрока, а знаками «–» — проигрышные.
 

У императора украли перец. Как известно, те, кто крадут перец, всегда лгут. Пресс-секретарь заявил, что знает, кто украл перец. Виновен ли он? (Раздвоением личности, лунатизмом и прочими типичными для его профессии заболеваниями этот пресс-секретарь не страдает.)
 

а) Разрежьте квадрат на 7 квадратов. б) Верно ли, что квадрат можно разрезать на любое нечётное число (не обязательно одинаковых) квадратов, большее пяти?

Дополнительные задачи

а) Можно ли выписать пять чисел, сумма любых трёх из которых положительна, а сумма всех пяти отрицательна?

б) Можно ли выписать в ряд пять чисел так, что сумма любых трёх подряд стоящих чисел положительна, а сумма всех пяти — отрицательна?
 

Разрежьте квадрат на пять прямоугольников, никакие два из которых не имеют общей стороны.