МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В ящике лежат 10 пар красных и 10 пар синих ботинок. Какое наименьшее количество ботинок нужно достать не глядя из этого ящика, чтобы из них можно было наверняка составить пару а) одноцветных; б) красных ботинок?
 

а) Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С — 4 дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С?

б) Построили новый город D и проложили из него две дороги в и три дороги в С. Сколькими способами теперь можно проехать из А в С?
 

Можно ли в прямоугольной таблице 4×6 (4 строки и 6 столбцов) расставить числа так, чтобы а) сумма чисел в любой строке равнялась 3, а сумма чисел в любой строке равнялась 2; б) сумма чисел в любой строке равнялась 5, а сумма чисел в любом столбце равнялась 4?
 

Шоколадка имеет вид прямоугольника 6 8. Играют двое. За один ход можно сделать прямолинейный разлом любого из кусков шоклоладки (в начале игры кусок один — целая шоколадка) вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
 

На чудо-дереве растут 100 апельсинов и 75 бананов. Каждый день Вера снимает с дерева два фрукта. При этом если она снимает два одинаковых фрукта, то на дереве тут же вырастает новый апельсин, а если два разных — новый банан. Ясно, что общее число фруктов на дереве уменьшается каждый день на 1. Значит, когда-то на дереве останется всего один фрукт. Какой?
 

Из клетчатой доски а) 8×8; б) 16×16; в) 64×64 вырезали угловую клетку. Можно ли разрезать полученную фигуру на уголки из трёх клеток?

Дополнительные задачи

Есть 5 монет, из которых 3 монеты настоящие и 2 — фальшивые. Одна из фальшивых монет весит меньше настоящей, а другая — больше. За три взвешивания на чашечных весах определите обе фальшивые монеты.
 

Пройдя ³/₈ длины моста, ослик Иа-Иа заметил автомобиль, приближающийся со скоростью 60 км/ч. Если ослик побежит назад, то встретится с автомобилем в начале моста, а если вперёд, то автомобиль нагонит его в конце моста. С какой скоростью бегает ослик Иа-Иа?