МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для 9-11 классов

Занятие 7. ВОСР

Товарищи! Да здравствует Великая Олимпиадная Субботняя Революция! Долой эксплуатацию учащихся преподавателями! Довольно с нас сложных тем и теоретических умствований у доски! Задачки — школьникам! Каждому по потребностям, от каждого по способностям. Ура, товарищи! P.S. Все задачи равны по сложности, но некоторые равнее других.

1.

Вместо знаков многоточия вставьте такие числа, чтобы равенство $$(x^2 + ... \times x + 2) \times (x + 3) = (x + ... ) \times (x^2 + ... \times x + 6)$$ было верным при всех действительных x.

2.

Действительные числа a, b, c таковы, что \(1 < a < b+c < a+1\) и \(b < c\). Докажите, что \(b < a\).

3.

На наибольшей стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отложили отрезки \(AD = AB\) и \(CE = BC\). Какая из сторон треугольника \(BDE\) — наименьшая?

4.

Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие–то две цифры так, что получится квадрат натурального числа?

5.

После революции в стране появилось 2015 революционных газет, изначально в каждой работало по одному человеку. Каждый день Троцкий вызвает к себе редакции трёх газет, в которых поровну человек, и объединяет их в одну. Через сколько дней может закончиться такой процесс укрупнения? (Процесс заканчивается только тогда, когда никого уже нельзя объединить).

6.

Имеется 24 комиссара четырёх политических «цветов» (эсеры, меньшевики, большевики и анархисты) — по шесть комиссаров каждого цвета. Их распределили по шести отрядам так, что каждый получил по четыре комиссара. Какое наименьшее количество отрядов всегда можно выбрать, чтобы в них гарантированно нашлись комиссары всех цветов, вне зависимости от распределения комиссаров?

7.

Матросы Антонов–Овсеенко и Дыбенко спроектировали два варианта красных флажков для кораблей (четыре окружности на рисунке — одного радиуса, треугольник — равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника — диаметр окружности). Какой из флажков потребует на изготовление меньше материала?

8.

На съезде за круглым столом сидят 2015 делегатов, каждый из них — либо коммунист, либо оппортунист. Коммунисты всегда говорят правду, оппортунисты всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу, это порядковый номер их выступления на съезде; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: «Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей». После этого k из сидящих добавили: «Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей». При каком наибольшем k это могло случиться?

9.

Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов \(x^2+ax+b\) и \(x^2+bx+a\) имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

10.

Треугольник разрезали на два треугольника. При каком наибольшем n среди шести углов этих двух треугольников может оказаться n одинаковых?

11.

В пифагоровой таблице умножения выделили прямоугольную рамку толщиной в одну клетку, причем каждая сторона рамки состоит из нечетного числа клеток. Клетки рамки поочередно раскрасили в два цвета — черный и белый. Докажите, что сумма чисел в черных клетках равна сумме чисел в белых клетках.

Пифагорова таблица умножения — это клетчатая таблица, в которой на пересечении m–й строки и n–го столбца стоит число mn (для любых натуральных m и n).