МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для 9-11 классов

Занятие 1 (26 сентября 2015 года). Воспоминания о прекрасном

1.

Для всех положительных чисел a и b докажите неравенство \(a^3+b^3\ge a^2b+b^2a\).

2.

Даны четыре окружности, каждая из которых внешним образом касается двух из трёх остальных. Докажите, что через точки касания можно провести окружность.

3.

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

4.

100 депутатов давали пощёчины друг другу. Каждый дал по пощёчине 50 депутатам. Докажите, что есть два депутата, которые дали пощёчины друг другу.

5.

В пятнадцатиугольнике отметили 43 точки и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами пятнадцатиугольника так, что пятнадцатиугольник разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?

6.

Найдите \(\text{НОД}(\underbrace{222\ldots22}_{99},\, \underbrace{111\ldots11}_{15})\).

7.

Каждая из сторон выпуклого четырёхугольника разделена на три равные части, и соответствующие точки противоположных сторон соединены. Докажите, что площадь центрального четырёхугольника в 9 раз меньше площади исходного.

8.

В городе 2015 домов. Какое наибольшее число замкнутых непересекающихся заборов можно построить так, чтобы каждый забор ограничивал хоты бы один дом и любые два забора ограничивали разные группы домов?

9.

Пусть \(P_n\) — произведение первых n простых чисел (n > 1). Докажите, что ни одно из чисел а) \(P_n + 1\); б) \(P_n - 1\) не является полным квадратом.