МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Весенний семестр. Темы занятий

11.02.2006. Занятие 11.

1)

Длина светового дня в зависимости от широты и времени года. Постановка задачи.

18.02.2006. Занятие 12.

2)

Зависимость угла между осью собственного вращения Земли и ее радиус-вектором, в гелиоцентрической системе координат, от времени года.

3)

Зависимость долготы светового дня от вышеуказанного угла.

25.02.2006. Занятие 13.

4)

Выведение формулы долготы светового дня на основании двух зависимостей, найденных на предыдущем занятии.

5)

Обсуждение формулы. Основные частные случаи. Выявление зависимости скорости изменения долготы светового дня от времени года. В частности, скорость минимальна в Solstice (солнцестояние) и максимальна в Equinox (равноденствие), что очевидно и без формулы.

04.03.2006. Занятие 14.

6)

Длина светового дня в зависимости от широты и времени года. Завершение темы.

7)

Доказательство иррациональности е (по заказу Станислава Сергеевича Минкова и Ивана Сергеевича Шилина).

11.03.2006. Занятие 15.

8)

Силы притяжения, действующие на материальную точку снаружи от однородной массивной сферы.

18.03.2006. Занятие 16.

9)

Счётная и несчётная бесконечность. Доказательство теоремы Кантора о том, что мощность множества подмножеств превосходит мощность самого множества.

25.03.2006. Занятие 17.

10)

Доказательство Цермело о предопределенности шахматной игры.

01.04.2006. Занятие 18.

11)

Задача о количестве способов окрасить круговой забор из d-досок k- красками таким образом, чтобы никакие две соседние доски не имели одинаковый цвет. Составление и решение соответствующего разностного уравнения. Составление и решение разностного уравнения, соответствующего последовательности Фибоначчи.

12)

Матричная запись, соответствующая вышеуказанным уравнениям. Умножение матриц. Характеристический многочлен матрицы 2х2.

08.04.2006. Занятие 19.

13)

Доказательство ассоциативности умножения матриц, а также некоммутативности. Обратная матрица. Собственные значения и соответствующие им собственные вектора матрицы.

14)

Связь разностного уравнения с характеристическим многочленом соответствующей ему матрицы.

15.04.2006. Занятие 20.

15)

Возведение матрицы в степень. Возвращение к детальному рассмотрению двух задач: о круговом заборе и о последовательности Фибоначчи, и выведение обобщенной формулы для разностных задач с квадратичным характеристическим многочленом без кратных корней.

22.04.2006. Занятие 21.

16)

Коэффициенты многочлена n-й степени как симметричные функции корней. Дискриминант.

17)

Стереографическая проекция.

29.04.2006. Занятие 22.

18)

Инверсия, как композиция отображения, обратного стереографической проекции из северного полюса, со стереографической проекцией из южного.

19)

Многочлен, как отображение комплексной плоскости в себя, рассмотрен, как отображение сферы в себя, при дополнительном условии, что северный полюс остается фиксированным.

06.05.2006. Занятие 23.

20)

Доказательство того, что при вышеуказанном дополнении, отображение сферы в себя остается гладким в окрестности северного полюса.

21)

Стереографическое отображение как конформное и его дифференциал.

13.05.2006. Занятие 24.

22)

Обсуждение тем, планируемых в будущем, в том числе: a) Прямая задача Кеплера. b) Брахистохрон. c) Принцип Ферма. d) Площадь треугольника на сфере и на плоскости Лобачевского. e) Теорема о неявной функции. Фундаментальная теорема алгебры. f) Рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами и единичным старшим коэффициентом есть число целое. g) Вычисление буферной емкости. Уравнение Аррениуса. Уравнение спирали ДНК.

23)

Распределение выступлений старшеклассников: h) Станислав Сергеевич Минков: сферы Данделена. i) Иван Сергеевич Шилин: образ окружности при отображении, обратном стереографическому, есть окружность, не проходящая через северный полюс. j) Екатерина Александровна Преснова: циклоидный маятник. k) Мария Андреевна Семерикова: платонические тела, футболина. l) Мария Тимуровна Вахитова: окружность девяти точек Эйлера.