МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Листок 1. Геометрическое суммирование

1.	Рассмотрим последовательность уголков: и так далее. Сколько клеток в k-ом уголке и чему равна суммарная площадь первых k уголков?
2.	а) Чему равно k-ое нечётное число и сумма первых k нечётных чисел? б) Чему равно k-ое чётное число и сумма первых k чётных чисел? в) Вычислите сумму 100 последовательных нечётных чисел, начиная с 57.
3.	Числа Т₁=1, Т₂=3, Т₃=6, Т₄=10, ... греческий математик Диофант называл треугольными: ... Четырёхугольные числа ... — это квадраты. Сложите из двух последовательных треугольных чисел квадрат. Что получится при сложении T_n с T_n? Выразите T_n через n.
4.	Найдите сумму первой сотни натуральных чисел.
5.	Докажите геометрически теорему сложения треугольных чисел: T_m+n = T_m + T_n + mn.
6.	(Пифагорова таблица умножения.) а) Докажите тождество mk=km (т.е. докажите, что k + k + ... + k (m слагаемых) = m + m + ... + m (k слагаемых)). б) Каковы размеры и площадь таблицы на рисунке?
7.	Сколько клеток в k-том, считая от левого верхнего угла пифагоровой таблицы, «толстом» уголке, вершина которого — квадрат k×k клеток, а стороны составлены из прямоугольников 1×k, 2×k, ..., (k-1)×k клеток?
8.	Найдите сумму 1³ + 2³ + ... +n³.
9.	Сформулируйте и докажите теорему, описывающую явление: 3+5=2³, 7+9+11=3³, 13+15+17+19=4³, ...
10.	Пятиугольные числа P₁=1, P₂=5, P₃=12, P₄=22, ... показаны на рисунке. Найдите разность P_k–P_k–1 между последовательными пятиугольными числами. Выразите P_n через n.
11.	Докажите геометрически, что сумма n-го треугольного и n-го квадратного числа на n больше, чем n-ое пятиугольное число.
12*.	Число k² можно представлять себе как объём параллелепипеда 1×k×k, а сумму 1²+2²+...+n² — как объём пирамиды, сложенной из таких параллелепипедов (на рисунке изображена пирамида для суммы 1²+2²). Попробуйте, комбинируя такие пирамиды, получить какую-нибудь фигуру, объём которой легко сосчитать (например, куб, параллелепипед, призму и т.п.) и выведите формулу для суммы 1²+2²+...+n².
13*.	Сумму треугольных чисел T₁+T₂+...+T_n тоже можно представлять себе как объём некоторой пирамиды. Попробуйте геометрически найти формулу для суммы треугольных чисел (эта сумма обозначается П_n и называется n-ым пирамидальным числом).
14*.	Найдите геометрически сумму квадратов первых n нечётных чисел. Интересно, какие ещё суммы можно найти с помощью геометрических рассуждений?
15*.	Придумайте какой-нибудь способ получения формул для следующих сумм (геометрическое решение составителям неизвестно): а) П₁+П₂+...+П_n; б) 1⁴+2⁴+...+n⁴.