МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 16 (5 марта 2016 года). Разнобой 4

1.

Найдите последнюю цифру числа а) \(222^{222}\), б) \(22^{22^{22}}\).

2.

Простым или составным является число а) КАМБОДЖИЕЦ; б) ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ; в) ЛАЗЕРРЕЗАЛ.

3.

Известно, что число \(a+2\) делится на 5. Докажите, что тогда число \(7a+4\) также делится на 5.

4.

Докажите, что число \(7^{2016}+9^{2015}\) делится на 10.

5.

а)

Число \(n\) при делении на 5 даёт в остатке 3, а при делении на 3 – в остатке 2. Какой остаток оно даёт при делении на 15?

б)

Число \(n\) при делении на 7 даёт в остатке 4, а при делении на 4 – в остатке 1. Какой остаток оно даёт при делении на 28?

в)

Число \(n\) при делении на 6 даёт в остатке 1, а при делении на 15 – в остатке 7. Какой остаток оно даёт при делении на 30?

5.

Сколько различных делителей у числа 1000 (включая 1 и само число)?

6.

Сколько существует пятизначных чисел, в которых есть хоть одна 7?

7.

Сколько существует пятизначных чисел, в которых есть 5 и нет 0?

8.

Найдите наименьшее число, запись которого состоит из нулей и единиц, делящееся на 225.

9.

Найти число автобусных билетиков, не содержащих цифр 1 и 2, при этом содержащих цифры 3 и 7 (автобусный билетик – шестизначный номер от 000000 до 999999).

10.

Найдите все делящиеся на 37 пятизначные числа, у которых первая, третья и пятая цифры одинаковы.

Указание

Указание. Заметим (и запомним!), что число 10101 кратно 37.