МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 10 (28 ноября 2015 года). Алгебра

а)

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

б)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

в)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

1.

Найдите все возможные пары таких натуральных чисел \(x\) и \(y\), что верно равенство:

а)

\(x^2 - y^2 = 9\);

б)

\(x^2 - y^2 = 43\).

2.

Разложите на множители:

а)

\(a^2 - b^2 + 2a - 2b\);

б)

\(a^2 + 2a + 1\);

в)

\(a^2 + 2a + 1 - b^2\).

3.

Известно, что \(ab\) делится на \(c\) и \((a + b)\) делится на \(c\). Докажите, что делится на \(c\).

Указание

Указание. Используйте одну из «волшебных» формул.

4.

При каком наименьшем значении \(K\) число \(K^2+K+41\) составное?

5.

Разность чисел \(\overline{abc} - \overline{def}\) делится на 7. Докажите, что число \(\overline{abcdef}\) делится на 7.

6.

Известно, что число \(A = 16a + 17b\) делится на 11. Докажите, что тогда число \(B = 17a+16b\) также делится на 11.

7.

Найдите все натуральные числа \(n \geqslant 100\) такие, что если отбросить у \(n\) две последние цифры, а затем полученное число возвести в квадрат, то получится снова \(n\).

8.

Известно, что \(a > 1\), \(b > 1\). Докажите, что \(ab + 1 > a + b\).

9.

Докажите, что сумма \(n\) подряд идущих нечётных чисел, начиная с 1, равна \(n^2\) а) алгебраически; б) геометрически.

Для самостоятельного решения

1.

Избавьтесь от скобок в выражении:

а)

\(5x (4x+3)\)

б)

\((x+2)(3x+1)\)

в)

\((a-5)(a+5)\)

2.

Выясните и объясните, что больше: 201520152015² или 201520152014·201520152016.