МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Руководители Андрей Леонидович Канунников и Степан Львович Кузнецов
2010/2011 учебный год

Натуральные числа 2 (27 ноября 2010 года)

1.: Докажите, что (n + 1)ⁿ − 1 кратно n² для каждого натурального n.
2.: Докажите, что если a и b — различные целые числа, то существует бесконечно много натуральных n таких, что числа a + n и b + n взаимно просты.

Определение. Числами Фибоначчи называются члены последовательности, заданной рекуррентно следующим образом: F₁ = F₂ = 1 и F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2} для всех n ≥ 3.

3.

а): Найдите (F_n, F_{n + 1}).
б): Докажите, что (F_n, F_m) = F_(n,m).

Обозначение: (a,b) — наибольший общий делитель чисел a и b.

4.: Теорема Хогатта. Докажите, что всякое натуральное число представимо в виде суммы различных членов последовательности Фибоначчи.
5.: Докажите, что не существует простых чисел p, q, r, s и t, для которых верно равенство p² + q² = r² + s² + t².
6.: Приведите пример бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из различных натуральных чисел, ни один член которой не является ни суммой, ни разностью двух простых чисел.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!