МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Метод крайнего (9 октября 2010 года)

1.

На плоскости даны 2010 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, не содержащий ни одной из оставшихся точек.

2.

Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне (а не на её продолжении).

3.

а)

На шахматной доске стоят несколько ладей. Докажите, что хотя бы одна из них бьёт не более двух других.

б)

На шахматной доске стоят несколько ферзей. Докажите, что какой-то из этих ферзей бьёт не более четырёх других.

в)

Всегда ли верно, что какой-то из ферзей бьёт не более трёх других?

4.

На столе лежат без наложений одинаковые монеты. Докажите, что найдётся монета, касающаяся не более, чем трёх других.

5.

На столе лежат без наложений произвольные монеты. Докажите, что одну из них можно передвинуть по столу к краю, не сдвинув других монет.

6.

Путешественник выходит из своего родного города и отправляется в самый дальний от него город страны, затем — в город, самый дальний от этого города, и так далее. Расстояния между всеми городами различны. Докажите, что если путешественник не вернулся в родной город после второго перехода, то он никогда в него не вернётся.

***

7.

У каждого из игроков есть спички. За один ход разрешается положить на стол одну, две или три спички. Выигрывает положивший двадцатую спичку. Кто выигрывает при правильной игре?

8.

Двое играющих по очереди переводят часовую стрелку на 2 или 3 часа вперёд. В начале игры стрелка указывает на 12 часов. Побеждает тот, после сьего хода стрелка указывает на 6 часов. Кто победит при правильной игре? (Стрелка может сделать несколько оборот перед тем, как остановиться на числе 6.)

9.

Для каких целых чисел a и b выполняется равенство ab = 2(a + b)?

10.

У Царя Гвидона было 5 сыновей. Среди его потомков 100 имели каждый ровно по 3 сына, а остальные умерли бездетными. Сколько потомков было у царя Гвидона?

Дополнительные задачи

11.

На столе лежат без наложений произвольные монеты. Докажите, что найдётся монета, касающаяся не более, чем пяти других.

12.

а)

Внутри параллелограмма расположен треугольник. Докажите, что площадь треугольника не больше половины площади параллелограмма.

б)

Внутри треугольника расположен параллелограмм. Чему может быть равно отношение их площадей?