МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Натуральные числа (13 ноября 2010 года)

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

Бог создал натуральные числа, всё остальное — создание человека.

Леопольд Кронекер

1.

Какой цифрой оканчивается число 9999⁹⁹⁹⁹⁹⁹ (операции возведения в степень, если не расставлены скобки, выполняются справа налево)?

2.

Найдите последнюю цифру числа 1³ + 2³ + … + 99³.

3.

Длины x и y катетов и z гипотенузы прямоугольного треугольника — натуральные числа. Докажите, что xy делится на 12.

4.

Докажите, что если натуральное число n имеет ровно s делителей, то произведение всех делителей числа n равно √n^s.

5.

а)

Докажите теорему Софи Жермен: число n⁴ + 4 составное при всех натуральных n [кроме 1].

б)

Докажите, что число n⁴ + 4m⁴ составное при всех натуральных m и n [кроме m=1, n=1].

6.

Докажите, что среди чисел вида 3k − 1 (k — натуральное) бесконечно много простых.

7*.

Докажите, что при любом нечётном n число 1ⁿ + 2ⁿ + … + nⁿ делится на 1 + 2 + … + n.

8*.

Докажите, что никакое простое число нельзя представить двумя различными способами в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.