МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 4. Четность

—

Лягушонок из прошлого листочка, который ходит обедать на другой берег болота, выбрал себе одну определенную дорогу и теперь всегда ходит только этим путем. Однажды лягушонок несколько раз сходил на обед и вернулся домой, после чего заявил, что сделал ровно 2009 прыжков. Могло ли такое быть?

1.

Во время турнира по квиддичу на Гарри Поттера напали 25 дементоров. Когда он проскочил на метле мимо двух из них, они бросились на Гарри, промахнулись и превратились в камни. Гарри повторял этот маневр еще раз, и еще раз, и еще до тех пор, пока все дементоры не превратились в камни. Докажите, что Гарри Поттер что-то наколдовал.

2.

Карлсон предлагает Малышу сыграть в такую игру: Карлсон рисует на клетчатой бумаге квадрат. Затем Малыш зачеркивает одну из клеток этого квадрата. Потом то же самое делает Карлсон, и т.д. Кто зачеркивает последнюю клетку – выигрывает. Стоит ли Малышу соглашаться?

3.

Филя пишет на доску одно целое число, а Степашка – другое. Если произведение чётно, победителем объявляют Филю, если нечётно, то Степашку. Может ли один из игроков играть так, чтобы непременно выиграть?

4.

Сложили 5 целых чисел. Получили 2009. Сколько среди них может быть нечётных? А если чисел 2009?

5.

Не выполняя никаких арифметических действий, назовите чётность чисел:

а)

1000−947·7567·76+2005+2006

б)

204·2121+5360·7+3121+6731·81·11−154−77+87

в)

(12454651−4564645)·(67876−59681)+(1163−712)·(948−8569)+886541·735+1

6.

В Лунном городе имеют хождение купюры достоинством 1, 3, 5, и 25 фертингов. Пончик хочет разменять 25-тифертинговую купюру так, чтобы получилось ровно 10 купюр. Удастся ли ему это сделать?

7.

Петя купил общую тетрадь в 96 листов и пронумеровал все страницы – от 1 до 192. Хулиган Артем вырвал из нее 25 листов и сложил все 50 написанных на них чисел. Могло ли у него получиться 2010?

8.

Филя перемножил 17 целых чисел и получил 1025, а Степашка сложил эти же числа и получил 100. Докажите, что кто-то из них ошибся.

9.

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могли ли получить 20092009?

10.

Разность двух целых чисел умножили на их сумму. Могли ли получить 4002?

11.

Петя сыграл с Машей в шахматы матч из нескольких партий. Он утверждает, что выиграл матч с перевесом в пол-очка. Могло ли такое быть? (За победу дается 1 очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – 0 очков.)

12.

На 99 карточках пишут числа 1, 2, ..., 99, перемешивают их, раскладывают чистыми сторонами вверх и снова пишут числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки складывают два её числа и 99 полученных сумм перемножают. Докажите, что результат чётен.