МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 2. Последовательное конструирование

—

Разрежьте квадрат на: а) 4 меньших квадрата (не обязательно одинаковых); б) на 7 квадратов; в) на 6 квадратов; г) на 8 квадратов;

—

Докажите, что квадрат можно разрезать на любое, большее пяти, число квадратов (не обязательно одинаковых).

—

Маляр может за один ход перейти на соседнюю по стороне клетку доски 8×8, после этого он должен перекрасить ее в противоположный цвет. Сначала маляр стоит на угловой клетке доски, где все клетки белые. Покажите, как маляру перекрасить только одну произвольную клетку. Докажите, что он может покрасить доску в шахматном порядке.

—

В строке в беспорядке записаны числа 1, 2, …, 2007. Разрешается менять местами любые два числа, отличающиеся на 1 (например, 7 и 8), где бы они не стояли. Докажите, что можно расставить числа по возрастанию.

1.

На бесконечной тропинке через каждый метр нарисована метка. На одной из отметок сидит хромой кузнечик, который умеет прыгать влево на 7 клеток, а вправо – на 4 клетки. а) Как кузнечику перепрыгнуть на одно деление правее; б) Как кузнечику перепрыгнуть на одно деление левее; в) докажите, что кузнечик сможет допрыгать до любой отметки.

2.

В мешке 64 кг гвоздей. Как при помощи только чашечных весов без гирь отвесить: а) 1 килограмм гвоздей; б) 23 килограмма гвоздей?

3.

Давным-давно в стране СССР имелись в обращении 3-копеечные и 5-копечные монеты. Докажите, что можно было набрать любую сумму более 7 копеек только такими монетами.

4.

Филечка рвет каждый попадающий ему в руки кусок бумаги на 4 части, а Степочка – на 6. Докажите, что объединенными усилиями они могут разорвать газету на любое количество частей, начиная с девяти.

5.

Имеются двое песочных часов. Одни отмеряют 3 минуты, а другие – 10 минут. Можно ли при помощи этих часов сварить яйцо всмятку если для этого его требуется варить: а) ровно 4 минуты, б) ровно 5 минут, в) ровно 28 минут; г) докажите, что с помощью этих часов можно отмерить любое целое число минут.

6.

На карточках записаны числа от 1 до 2007. Одна из карточек покрашена в красный цвет, а остальные – белые. Карточки выложены одна за другой в произвольном порядке. Разрешается поменять красную карточку с любой другой. Как за несколько таких операций можно расположить числа на карточках в порядке возрастания?

7.

На тропинке с интервалом в один метр поставлены тысяча отметок. По этим отметкам прыгает лягушонок, который умеет прыгать только на 3 метра вперед или на 2 метки назад и больше никак. Как ему пропрыгать по всем отметкам, побывав на каждой ровно по одному разу?

8.

Обезьяна хочет определить, из окна какого самого низкого этажа 15-этажного дома нужно бросить кокосовый орех, чтобы он разбился. У нее есть два кокосовых ореха. За какое наименьшее число бросков обезьяна может удовлетворить свое любопытство? (Не разбившийся орех можно бросать снова)