МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Руководители Андрей Леонидович Канунников и Степан Львович Кузнецов
2009/2010 учебный год

Версия для печати

Тема 2. Центр масс и его применение для решения геометрических задач

Задача. Старый пират зарыл клад на острове среди 20 деревьев. После этого он написал завещание, в котором указал, как искать клад: надо встать к первому дереву, пройти половину расстояния до второго дерева, затем повернуть к третьему и пройти треть расстояния до него, и т. д., наконец, повернуть к двадцатому и пройти двадцатую часть расстояния до него. К сожалению, пират забыл указать, как занумерованы деревья! Сколько разных ям придётся выкопать потомкам пирата, чтобы всё-таки найти клад?

Ответ. Одну. Клад находится в центре масс этих 20 точек с единичными весами (определение см. дальше).

Определение. Центром масс системы точек A1, …, An с массами m1, …, mn (далее используется обозначение (A1, m1), …, (An, mn)) называется такая точка O, что

Обычно считается, что все массы положительны, однако вся теория работает и в случае, когда допускаются массы произвольного знака при условии, что m1 + … + mn ≠ 0.

Теорема 1 (о существовании). Для любой системы точек (A1, m1), …, (An, mn) центр масс существует.

Доказательство. Пусть X — произвольная точка (начало координат). Тогда центром масс O рассматриваемой системы точек задаётся радиус-вектором:

Теорема 2 (о единственности). Центр масс системы точек единствен.

Теорема 3 (о группировке масс). Центр масс системы точек (A1, m1), …, (An, mn), (B1, M1), …, (Bk, Mk) совпадает с центром масс системы точек (A1, m1), …, (An, mn), (C, M), где C — центр масс системы точек (B1, M1), …, (Bk, Mk), а M = m1 + … + mk.

С помощью центра масс можно легко доказать некоторые теоремы элементарной геометрии, например:

Теорема (о пересечении медиан). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Теорема (о пересечении биссектрис). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Подсказка. Воспользуйтесь теоремой о биссектрисе: если BD — биссектриса, то AD:DC = AB:BC.

Теорема Чевы. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Тогда отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Такие отрезки AA1, BB1 и CC1 называются чевианами.

Теорема Ван-Обеля. Пусть K — точка пересечения чевиан AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC. Тогда


Ещё несколько задач про центр масс

1.
Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник, K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей четырёхугольника ABCD.
2.
На сторонах BC и CD паралеллограмма ABCD взяты точки K и L так, что BK:KC = CL:LD. Докажите, что точка пересечения медиан ΔAKL лежит на диагонали BD.
3.
Докажите, что если у многоугольника есть несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
4.
Где находится центр масс правильного n-угольника с единичными весами в вершинах?
5.
Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состоит из n «уголков» и k прямоугольников 1×4 (см. рисунок). Докажите, что n чётно.

Литература

В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии, гл. 14.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS