МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Математический бой (с командой кружка Г. И. Сыркина)

1.

На плоскости даны тринадцать точек, пять из которых лежат на одной прямой, а среди остальных восьми никакие три точки не лежат на одной прямой. Найти число всевозможных треугольников с вершинами в трёх точках из числа данных тридцати точек.

2.

При каких значениях переменной x выражение f(x) принимает наименьшее значение, где

а)

f(x) = (x − x₁)² + … + (x − x_n)²;

б)

f(x) = |x − x₁| + … + |x − x_n|?

3.

Найти все многочлены P(x) от переменной x с действительными коэффициентами, удовлетворяющие одновременно условию P(0) = 0 и равенству P(x) = ½ (P(x − 1) + P(x + 1)) для всех действительных чисел x.

4.

Докажите, что у числа есть хотя бы 2009 различных простых делителей.

5.

Даны два отрезка и угол.

а)

Как при помощи циркуля и линейки узнать, существует ли параллелограмм с такими длинами сторон и углом между диагоналями?

б)

А если существует, то как по тем же элементам при помощи тех же инструментов его построить?

в)

Наконец, единствен ли такой параллелограмм?

6.

Каким наименьшим числом кругов радиуса 1 можно полностью покрыть круг радиуса 2?