МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Тема 1. Комбинаторика

1.

Сколько существует трёхзначных чисел, у которых

а)

все цифры нечётные;

б)

все цифры чётные;

в)

есть хотя бы одна нечётная цифра?

2.

Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске 8×8 два квадрата — белый и чёрный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадратов?

3.

а)

10 дипломатов обменялись рукопожатиями (каждые два пожали друг другу руку). Сколько было рукопожатий?

б)

10 дипломатов сели за круглый стол и рукопожатиями обменялись только соседи. Сколько было рукопожатий?

4.

а)

В n-угольнике 9 диагоналей. Найти n.

б)

Может ли в многоугольнике быть 10 диагоналей?

5.

На окружности отмечены 30 синих и 25 зелёных точек. Рассмотрим всевозможные отрезки хорды с концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы а) разного цвета; б) одинакового цвета?

6.

В правильном октаэдре 6 вершин, из каждой вершины выходит 4 ребра и все грани — правильные треугольники. Сколько рёбер и сколько граней в правильном октаэдре?

7.

Сколькими способами можно поровну раздать 36 карт четырём игрокам?

8.

На рисунке изображена прямоугольная сетка.

а)

Сколькими способами можно попасть из точки O в точку Q, если можно двигаться лишь вправо и вверх по сторонам сетки?

б)

Сколько из этих путей проходят через точку R?

9.

Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если среди них есть двое, которых нельзя выбирать вместе?

10.

Найти сумму слагаемых, не содержащих иррациональностей, в выражении .

11.

В кондитерской продаются пирожные 4 видов: эклеры, песочные, корзинки и наполеоны. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

12.

Для каждого натурального n и целого k ≥ 0 найти количество решений

а)

в целых неотрицательных числах уравнения x₁ + … + x_n = k;

б)

в натуральных числах того же уравнения;

в)

в целых неотрицательных числах неравенства x₁ + … + x_n ≤ k.

13.

Сколькими способами можно поровну раздать 36 карт четырём игрокам?

14.

Доказать полиномиальную формулу

15.

Найти количество делителей натурального числа n=p₁^k₁p₂^k₂ … p_m^k_m, разложенного на простые множители (все p_i — попарно различные простые числа, а k_i — натуральные).

16.

Вычислить

17.

Даны следующие требования к расстановке шахматных фигур:
1) белые и чёрные фигуры стоят симметрично, белые пешки занимают второй ряд, чёрные — седьмой (как в обычных шахматах);
2) слоны белых разноцветные (стоят на полях разного цвета);
3) белый король стоит между двумя белыми ладьями.
Найти число всевозможных начальных шахматных позиций, удовлетворяющих

а)

условию 1);

б)

условиям 1), 2);

в)

условиям 1), 2), 3).

18.

Через центр сферы проведено несколько плоскостей. Окружности, получающиеся в сечении сферы этими плоскостями, пересекаются в 22 точках, причём в 12 из них пересекаются по две окружности, а в остальных 10 — по три. Сколько всего проведено плоскостей?

19.

Существуют ли рациональные числа a, b, c, d такие, что ?