МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 5.

1.

Дома Пятачка, Иа и Пуха соединены прямыми дорожками (образуя треугольник). Делая зарядку, Пятачок пробежал от своего дома к дому Иа, затем - к дому Пуха, затем - к своему дому. В это время Пух в задумчивости прошел от своего дома к дому Иа и обратно. Чей путь был длиннее?

2.

Дима и Серёжа играют в такие игры (ходят по-очереди, начинает Дима; проигрывает тот, кто не может сделать ход):

а)

В ряд записаны 7 минусов. За ход изменяют знак у 1-го минуса или у 2-х рядом стоящих минусов.

б)

Та же игра, но в ряд записаны 8 минусов.

в)

У ромашки 10 лепестков. За ход у нее отрывают один лепесток или два рядом растущих лепестка.

г)

Та же игра, но у ромашки 11 лепестков.
Выясните в каждой игре, кто из ребят всегда сможет обеспечить себе победу, и как ему играть?

3.

а)

Можно ли нарисовать четырёхугольник с такими длинами сторон: 9 см, 3 см, 4 см, 2 см?

б)

Верно ли, что из любых десяти палочек можно сложить десятиугольник?

4.

Среди любых ли 11 натуральных чисел найдутся 2 числа, разность которых делится на 10?

5.

У Серёжи было 7 картофелин, у Пети было 5, а у Юры вообще не было. Они сварили картошку и разделили её поровну на троих. Благодарный Юра дал Серёже с Петей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?

6.

Посёлки А и В расположены

а)

по разные стороны;

б)

по одну сторону от прямой дороги. Где на дороге надо устроить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от неё до поселков А и В была наименьшей?

7.

Муравей сидит в вершине деревянного куба. Он хочет, двигаясь по поверхности куба, переползти в противоположную вершину по кратчайшему пути. Как ему это сделать?

8.

Может ли шахматный конь пройти из левого нижнего поля шахматной доски 8×8 в её правое верхнее поле, побывав на каждом поле доски ровно по одному разу?

Дополнительные задачи

9.

Что больше: сумма длин сторон четырёхугольни-
ка или сумма длин его диагоналей?

10.

а)

Придумайте пять различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на сумму этих пяти чисел.

б)

Можно ли придумать 100 чисел с аналогичным свойством?

11.

Имеются десять палочек, из которых можно сложить десятиугольник. Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?

12.

Доска размером 6×6 покрыта 18 доминошками размером 2×1 (доминошки не перекрываются и не вылезают за пределы доски). Докажите, что при любом таком покрытии можно разрезать доску на две части по горизонтальной или вертикальной линии, не повредив ни одной доминошки.