МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 2.

1.

Проверяя, что кусок материи имеет форму квадрата, швея перегибает его по каждой диагонали и убеждается, что края каждый раз совпадают. Достаточна ли такая проверка?

2.

а)

По кругу стоят 10 корзин. Можно ли разложить в них несколько арбузов так, чтобы в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на единицу?

б)

А если корзин 3?

в)

А если 9?

3.

Какая из дробей больше: ²⁰⁰⁵/₂₀₀₆ или ²⁰⁰⁶/₂₀₀₇?

4.

а)

Есть 2 кучи по 9 камней. Петя и Вася по очереди берут камни: за ход можно взять любое количество камней из любой одной кучи (но нельзя брать из двух куч сразу). Начинает Петя. Проигрывает тот, кто заберет последний камень из какой-нибудь кучи. Кто может всегда побеждать, и как ему надо играть?

б)

А если есть 3 кучи по 9 камней?

в)

А если есть 4 кучи по 9 камней?

5.

Ежедневно в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход, и в это же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из пароходов находится в пути ровно 7 суток, и идут они по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?

6.

Квадрат 8×8 сложен из доминошек 1×2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат 2×2.

7.

Вертолет вылетел из точки A земного шара и, пролетев 1 км на север, потом 1 км на восток, а потом 1 км на юг, оказался снова в точке A. Где на земном шаре могла находиться точка A? Попробуйте найти все ответы!

Дополнительные задачи

8.

а)

Расставьте 7 звездочек в таблице 4×4 так, чтобы при вычеркивании любых двух строк и любых двух столбцов оставалась невычеркнутой хотя бы одна звездочка.

б)

Докажите, что 6 звездочек так расставить нельзя.

9.

У стены круглой комнаты диаметром 3 м на полу сидит кузнечик. Каждый его прыжок имеет длину ровно 2 м. Он начинает прыгать. В какие точки комнаты он может попасть?

10*

Подряд выписаны числа 2²⁰⁰⁶ и 5²⁰⁰⁶. Сколько всего выписано цифр?