МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 14 (25 февраля 2017 года)

1.

Остров населён рыцарями, которые всегда говорят правду, и лжецами, которые всегда лгут. На собрании островитян по случаю дня рождения острова один участник собрания заявил, что среди собравшихся лжецов больше, чем рыцарей. Докажите, что на собрании были и лжецы, и рыцари.

2.

В треугольнике длины двух сторон равны 17 и 4. Найдите третью, если известно, что её длина делится на 6.

3.

Один рыболов поймал шесть одинаковых рыб, а другой — пять таких же рыб. Стали варить уху. Пришел рыбоед и попросил отведать ухи. Уха была разделена поровну — всем троим. В благодарность рыбоед оставил 11 яблок. Как их разделить рыболовам, учитывая вклад в уху?

4.

Пятеро рыболовов заметили, что любые двое из них вместе поймали не более 9 рыб. Каким, самое большее, может быть общий улов всех пятерых?

5.

Как составить квадрат из фигурок ?

6.

Когда комиссия приехала в психбольницу, там находились 3 врача и 7 пациентов. Комиссия попросила каждого указать на двух врачей. Каждый врач показал на двух других, а пациенты показали на кого угодно. Докажите, что комиссия могла выявить хотя бы одного пациента. (Члены комиссии знают количество врачей и количество пациентов.)

Дополнительные задачи

7.

Карлсон может съесть банку варенья за пять минут, фрекен Бок — за полчаса, а Малыш — за час. За какое время они съедят эту банку вместе?

8.

Раскрасьте клетки доски 7×7 в синий и красный цвета так, чтобы в любом квадрате 3×3 синих клеток было на одну больше, чем красных.

9.

В сериале «Тайна Санта-Барбары» 20 героев. В каждой серии происходит одно из трёх событий: кто-то узнаёт Тайну, кто-то узнаёт про кого-то, что тот знает Тайну, кто-то узнаёт про кого-то, что тот не знает Тайну. Какое наибольшее число серий может продолжаться сериал? (Тайна в сериале одна, и каждое событие происходит лишь однажды.)