МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 14 (25 февраля 2017 года)

1.

Пятеро рыболовов заметили, что любые двое из них вместе поймали не более 9 рыб. Каким, самое большее, может быть общий улов всех пятерых?

2.

В клетках доски 10×10 записаны числа от 0 до 99 так, как показано на рисунке. На доску поставили 10 не бьющих друг друга ладей. Чему может быть равна сумма чисел в клетках, занятых ладьями? (Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.)

3.

В квадрате 5×5 закрасили 16 клеток. Обязательно ли в нём найдётся квадрат 2×2, в котором закрашено хотя бы три клетки?

4.

В сериале «Тайна Санта-Барбары» 20 героев. В каждой серии происходит одно из трёх событий: кто-то узнаёт Тайну, кто-то узнаёт про кого-то, что тот знает Тайну, кто-то узнаёт про кого-то, что тот не знает Тайну. Какое наибольшее число серий может продолжаться сериал? (Тайна в сериале одна, и каждое событие происходит лишь однажды.)

5.

Можно ли расставить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 10 так, чтобы сумма трёх чисел по каждому отрезку была одной и той же?

6.

Какое наибольшее число клеток можно отметить на поверхности куба 3×3×3 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей вершины?

Дополнительные задачи

7.

На окружности отмечено n точек. Оказалось, что число отрезков, соединяющих эти точки, равно числу треугольников с вершинами в этих точках. Сколько точек могло быть отмечено?

8.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить чёрным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три чёрные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?