МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Руководитель Любовь Сергеевна Шатина
2016/2017 учебный год

Занятие 15 (25 февраля 2017 года). Коники и конницы

1.
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек \(F_1\), \(F_2\) (которые называются фокусами эллипса) постоянна. Согласно другому определению, эллипс — это кривая, задаваемая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат уравнением \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.\] Докажите эквивалентность этих определений.
2.
Параболой называется геометрическое место точек, расстояния от которых до данной точки \(F\) (которая называется фокусом параболы) и данной прямой \(d\) (называемой директрисой) равны. Согласно другому определению, парабола — это кривая, задаваемая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат уравнением \[y=kx^2.\] Докажите эквивалентность этих определений.
3.
Гипербола — геометрическое место точек \(M\), для которых величина \(|F_1M-F_2M|\) постоянна (точки \(F_1\), \(F_2\) называются фокусами гиперболы). Согласно другому определению, гипербола — это кривая, задаваемая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат уравнением \[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.\] Докажите эквивалентность этих определений.
4.
Пусть \(K\) — прямой круговой конус (т.е. фигура, состоящая из прямых (которые называются образующими), проходящих через данную точку \(A\), и образующих данный угол α < 90° с прямой \(l\), проходящей через точку \(A\). Докажите, что
а)
при пересечении \(K\) плоскостью, не параллельной ни одной из образующих и пересекающей только одну половину конуса, получается эллипс;
б)
при пересечении \(K\) плоскостью, не параллельной ни одной из образующих и пересекающей обе половины конуса, получается гипербола;
в)
при пересечении \(K\) плоскостью, параллельной одной из образующих, но не проходящей через вершину конуса, получается парабола.

Подсказка

Подсказка. Рассмотрите две вписанные в конус сферы, \(S_1\) и \(S_2\), касающиеся плоскости сечения.
5.
Докажите, что
а)
Касательная к эллипсу в точке \(M\) образует равные углы с отрезками, соединяющими точку касания с фокусами, и является биссектрисой угла, смежного с углом \(F_1MF_2\) (где \(F_1\), \(F_2\) — фокусы эллипса).
б)
Касательная к гиперболе образует равные углы с отрезками, соединяющими точку касания с фокусами, и является биссектрисой угла \(F_1MF_2\).
в)
Касательная к параболе, проведённая в точке \(M\), образует равные углы с прямой MF и осью параболы.