МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Руководитель Любовь Сергеевна Шатина
2015/2016 учебный год

Занятие 27 (14 мая 2016 года). Игра «Ом-ном-ном»

Правила игры

1-й пакет

1.
(1 балл) У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: «Вместе у нас 28 ног», зеленый: «Вместе у нас 27 ног», желтый: «Вместе у нас 26 ног», красный: «Вместе у нас 25 ног». У кого сколько ног?

Ответ

Ответ. У зелёного осьминога 6 ног, а у остальных по 7 ног.
2.
(2 балла) Митя соединил проводами несколько компьютеров. От одного компьютера отходит 4 провода, от трех компьютеров по 3 провода, от четырех — по 2 провода и от одного компьютера — один провод. Сколько всего проводов протянул Митя?

Ответ

3.
(2 балла) Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася? Укажите все возможные варианты.

Ответ

4.
(2 балла) По трём пустым сундукам разложили 40 золотых и 40 серебряных монет, причем в каждый сундук — монеты обоих видов. В первом сундуке оказалось золотых монет на 7 больше, чем серебряных, а во втором сундуке — серебряных монет на 15 меньше, чем золотых. Каких монет больше в третьем сундуке и на сколько?

Ответ

Ответ. Серебряных монет на 22 больше.
5.
(2 балла) Какое кольцо надо разрезать, чтобы изображённая на рисунке конструкция распалась на отдельные кольца?

Ответ

Ответ. Правое верхнее.
6.
(3 балла) Барон Мюнхаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Ему никто не поверил. Защитите честь барона! (Отражение шара от борта происходит по закону «угол падения равен углу отражения».)

2-й пакет

7.
(2 балла) Игральный кубик кидают дважды. Сколько возможно различных результатов, таких, что хотя бы один раз выпала шестёрка?

Ответ

8.
(3 балла) Оля задумала четыре целых числа, а затем нашла все их попарные суммы. Пять из них оказались равны 70, 110, 120, 180 и 230. Чему равна шестая сумма?

Ответ

9.
(3 балла) Найдите углы треугольника, если известно, что градусная мера каждого из них — квадрат натурального числа.

Ответ

Ответ. 100°, 64°, 16°.
10.
(3 балла) Бабушка печет блины. Когда в тарелке было 17 блинов, пришел внучек из школы. Как только внук съедает три блина, бабушка подкладывает на тарелку еще два. Маленький обжора ушел в тот момент, когда на тарелке впервые стало ровно 11 блинов. Сколько блинов он съел?

Ответ

11.
(3 балла) Клетчатый квадрат 2×2 со стороной клетки в одну спичку складывается из 12 спичек (см. рисунок). А сколько спичек уйдет на клетчатый квадрат 20×20?

Ответ

12.
(4 балла) Есть бумажный квадрат со стороной 2. Вырежьте из него 12-угольник, у которого длины всех сторон равны 1, а все углы кратны 45°.

3-й пакет

13.
(3 балла) В ряд высадили 12 деревьев. Затем между каждыми двумя посаженными деревьями посадили еще по одному дереву. Затем эту операцию проделали еще три раза. Сколько всего деревьев посажено?

Ответ

14.
(4 балла) На чемпионате мира по фигурному катанию выступают спортсмены-одиночники, мужчины и женщины, и пары. Известно, что 2/3 всех мужчин и 3/5 всех женщин выступают в паре. Какая доля спортсменов, участвующих в чемпионате — парники?

Ответ

Ответ. 12/193.
15.
(4 балла) Автомат отрезает от помещенного в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имеющемуся прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Укажите размеры исходного прямоугольника.

Ответ

Ответ. 45×13.
16.
(4 балла) В треугольнике длины всех сторон различны и выражаются целым числом сантиметров. Каким, самое меньшее, может быть периметр такого треугольника?

Ответ

17.
(4 балла) На доске написано 10-значное число. Каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 23 или на 17. Последняя цифра равна 1. Найдите первую цифру числа.

Ответ

18.
(5 баллов) Найдите наименьшее число, произведение цифр которого равно 2016.

Ответ

4-й пакет

19.
(4 балла) Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?

Ответ

Ответ. В 1,5 раза.
20.
(5 баллов) Найдите все числа, которые уменьшаются в 12 раз при зачеркивании в них последней цифры.

Ответ

Ответ. 12, 24, 36, 48.
21.
(5 баллов) У Феди есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 — по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками — две цифры, между тройками — три, а между четвёрками — четыре. Укажите какое-нибудь число, которое может получить Федя.

Ответ

Ответ. 41312432 или 23421314.
22.
(5 баллов) Четыре подружки поделили между собой 77 конфет, при этом каждой девочке досталось конфет или столько же, сколько какой-то из её подружек, или ровно в два раза меньше, чем одной из них. Как могли распределиться конфеты? Укажите все возможные варианты.

Ответ

Ответ. (7, 14, 28, 28); (11, 22, 22, 22).
23.
(5 баллов) Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире №333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Ответ

24.
(6 баллов) На доске выписаны цифры 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Разрешается вставить между некоторыми из них знаки «+», а оставшиеся склеить в числа, так, чтобы сумма оказалась трёхзначным числом (например: «98 + 76 + 5 + 43 + 2 + 1 = 225»). Какое наибольшее трёхзначное число может получиться?

Ответ