МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок, посвящённый неевклидовой геометрии

Невидимая книга

Этой книги о неевклидовой геометрии не существует. Однако некоторые отрывки из неё возможно прочитать:

• Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Сюжет об окружности и трёх точках
• Котометрия
• Расстояния на сфере. Квант, 2017, № 4, 36–38.
• Теорема Шаля в трех лицах. Квант, 2017, № 9, 10–14 (начало) и № 10, 2–5 + 10 (окончание).

За пределами кружка

• Популярная лекция о геометрии Лобачевского (в средней школе №1852, г. Москва, при поддержке ЦМТ МГУ, 29.10.2015)
• Теорема Шаля на плоскости Лобачевского (лекция в ЮМШ, г. Санкт-Петербург, при поддержке компании «Газпром-нефть», 11.11.2016)

Листочки с задачами

1. Вводный листок
2. Повороты и симметрии (в ожидании теоремы Шаля)
3. Треугольники на сфере
4. Ещё одна встреча со Сферой (исправл. версия 25.10.2015)

1. Вводный листок
2. Применим инверсию
3. Модель Пуанкаре в круге
4. Инверсия в пространстве. Задача о вписанном гексаэдре

Программа занятий

1. Точки и «прямые» (большие круги) на сфере. Расстояния и углы на сфере. Неравенство треугольника.
2. Сумма углов и дефект сферического многоугольника. Формула Жирара.
3. Движения (изометрические преобразования). Теоремы Шаля на сфере и на плоскости.
4. Признаки равенства сферических треугольников. Простейшие факты сферической геометрии.
5. Сферическая тригонометрия: тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике; теорема Пифагора; теоремы косинусов; теорема синусов.
6. Применения сферической геометрии в геодезии и астрономии.

1. Аксиомы Евклида (в изложении Гильберта). Аксиома о параллельных («5-й постулат»). Абсолютная геометрия: какие теоремы можно доказать без использования 5-го постулата.
2. Модель Пуанкаре (в верхней полуплоскости) для геометрии Лобачевского. Непротиворечивость геометрии Лобачевского.
3. Инверсия как симметрия плоскости Лобачевского (в модели Пуанкаре). Основные свойства инверсии.
4. Дефект многоугольника на плоскости Лобачевского. Правильные и полуправильные замощения сферы, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского.
5. Окружности, эквидистанты и орициклы в модели Пуанкаре.
6. Гиперболические тригонометрические функции. Соотношения в прямоугольном треугольнике на плоскости Лобачевского. Решение треугольников на плоскости Лобачевского.

Литература

1. Н. В. Ефимов. Высшая геометрия. — М.: Физматлит, 2003.
2. И. Д. Жижилкин. Инверсия (б-ка "Матем. просв." вып. 35). — М.: МЦНМО, 2009.
3. А. С. Смогоржевский. О геометрии Лобачевского (ПЛМ вып. 23). — М.: ГИТТЛ, 1957.
4. Н. Н. Степанов. Сферическая тригонометрия. — М., Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948.
5. В. П. Цесевич. Что и как наблюдать на небе. — М.: Наука, 1979.