МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для 9-11 классов

Занятие 12. Центр масс–2

1.

Пусть \(ABCD\) — выпуклый четырехугольник, \(K, L, M, N\) — середины сторон \(AB, BC,\) \(CD, DA.\) Доказать, что точка пересечения отрезков \(KM\) и \(LN\) является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

2.

Пусть \(A_1, B_1,\ldots, F_1\) — середины сторон \(AB, BC, \ldots, FA\) произвольного шестиугольника. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников \(A_1C_1E_1\) и \(B_1D_1F_1\) совпадают.

3.

На сторонах \(AB, BC, CD, DA\) выпуклого четырехугольника \(ABCD\) взяты точки \(K, L, M, N\) соответственно, причем \(AK : KB = DM : MC = a\) и \(BL : LC = AN : ND = b.\) Пусть \(P\) — точка пересечения отрезков \(KM\) и \(LN.\) Доказать, что \(NP : PL = a\) и \(KP : PM = b.\)

4.

На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) взята точка \(M\) такая, что \(AM : MC = 1 : 2,\) а на продолжении стороны \(CB\) — точка \(N\) такая, что \(NB = CB.\) Прямая \(NM\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(P.\) В каком отношении эта точка делит сторону \(AB\) и отрезок \(MN?\)

5.

На отрезке \(BC\) отмечена точка \(A_1\), на AC — \(B_1\), AB — \(C_1\). Отрезки \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) треугольника ABC пересекаются в одной точке \(K.\) Докажите, что \(\displaystyle\frac{AK}{KA_1} = \frac{AB_1}{B_1C} + \frac{AC_1}{C_1B}.\)

6.

Из четырех точек \(A, B, C\) и \(D\) никакие три не лежат на одной прямой; \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AB\) и \(CD;\) \(K\) — середена отрезка \(MN;\) \(P\) — точка пересечения медиан треугольника \(BCD.\) Докажите, что точки \(A, K\) и \(P\) лежат на одной прямой.

7.

В треугольнике \(ABC\) точка \(F\) делит сторону \(BC\) в отношении \(3 : 1,\) считая от вершины \(B.\) Точки \(M\) и \(P\) отсекают от сторон \(AB\) и \(AC\) по \(\frac16,\) считая соответственно от вершины \(A\) и от вершины \(C.\) В каком отношении делится каждый из отрезков \(MP\) и \(AF\) точкой их пересечения?

8.

Даны треугольник \(ABC\) и прямая \(l_1\). \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — произвольные точки прямой \(l\). Найдите геометрическое место центров масс треугольников с вершинами в серединах отрезков \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\).

9.

Прямая проходит через вершину \(A\) треугольника \(ABC\) и середину медианы \(BB_1\). В каком отношении эта прямая делит медиану \(CC_1\)?