МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Число сочетаний (19 апреля 2014 года)

Определение. Число сочетаний из n по k — количество способов выбрать k элементов из n имеющихся. Обозначение: \(C_n^k\).

1.

Докажите равенства: \(C_n^k=C_n^{n-k}\), \(C_{n+1}^{k}=C_n^k+C_n^{k-1}\).

2.

Выразите \(C_n^k\) через n и k.

3.

Докажите равенство: \(C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n\).

4.

Нарисуйте на плоскости 6 точек так, чтобы они служили вершинами ровно для 17 треугольников.

5.

Докажите равенство (Бином Ньютона): \((a+b)^n=a^n+C_n^1a^{n-1}b+\ldots+C_n^ka^{n-k}b^k+\ldots+b^n\).

6.

Докажите равенство: \[1-3C^1_{4k}+3^2C^2_{4k}-3^3C^3_{4k}+\ldots+3^{4k-2}C_{4k}^{4k-2}-3^{4k-1}C_{4k}^{4k-1}+3^{4k}=\] \[=1-5C^1_{2k}+5^2C^2_{2k}-5^3C^3_{2k}+\ldots+5^{2k-2}C_{2k}^{2k-2}-5^{2k-1}C^{2k-1}_{2k}+5^{2k}.\]

7.

Докажите равенство: \((C_n^0)^2+(C_n^1)^2+\ldots+(C_n^n)^2=C_{2n}^n\).