МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Разные задачи. 20 апреля 2013.

1.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин четырёхугольника минимальна.

2.

Дан связный граф с 6 вершинами. Степени пяти его вершин известны: 3, 3, 4, 4, 2. Найдите степень последней вершины, если граф содержит 10 ребер. Можно ли обойти рёбра такого графа, проходя по каждому ребру по одному разу? А обойти и вернуться в исходную вершину?

3.

Сколькими способами можно переставить буквы слова «КАРАНДАШ», чтобы гласные буквы стояли рядом?

4.

Двое играют в двойные шахматы: все фигуры ходят как обычно, но каждый делает по два шахматных хода подряд. Докажите, что первый может как минимум сделать ничью.

5.

Какое максимальное количество ферзей можно поставить на шахматную доску, так чтобы они не били друг друга? Какое по четности количество способов таких расстановок?

6.

В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8?8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?

7.

Докажите, что среди любых 7 целых чисел найдутся одно или несколько, сумма которых делится на 7.