МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 0 (17 сентября 2011 года)

Часть А

1.

Сумма двух последовательных чисел равна 35. Найдите эти числа.

Ответ

Ответ. 17, 18.

2.

Юра смотрел мультфильм 10 минут, с начала, но не до конца, а Егор — 15 минут, до конца, но не с начала. Сколько времени они смотрели мультфильм вместе, если всего он продолжался 20 минут?

Ответ

Ответ. 5 минут.

3.

На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ

Ответ. 70.

4.

В волейбольном турнире каждая команда сыграла с каждой. При этом 20% команд не выиграли ни одной игры. Сколько команд участвовало в турнире?

Ответ

Ответ. 5.

5.

В коробке шоколадные конфеты выложены в один слой в виде квадрата. Ваня съел все конфеты по периметру — всего 20 конфет. Сколько конфет осталось в коробке?

Ответ

Ответ. 16.

6.

Тигра умеет бегать со скоростью 30 километров в час и очень хочет научиться тратить на каждый километр на одну минуту меньше. С какой скоростью нужно научиться бегать Тигре?

Ответ

Ответ. 60 км/ч.

7.

Под крышкой каждой бутылки мехмат-колы нарисована одна из трех картинок: звездочка, карандаш или рожица. Если собрать две крышки с одинаковыми картинками, то их можно обменять в буфете на шоколадку. Сколько бутылок надо купить, чтобы точно получить две шоколадки?

Ответ

Ответ. 6.

8.

Водитель дальнобойного грузовика взглянул на приборы своей машины и увидел, что спидометр показывает 25952. „Какое красивое число я проехал. Наверное, не скоро выпадет следующее красивое число”, — подумал он. Однако через час двадцать минут на спидометре появилось следующее красивое число. С какой скоростью ехал грузовик?

Ответ

Ответ. 82,5 км/ч

9.

Найдите все натуральные числа, квадрат которых записывается только нечетными цифрами.

Ответ

Ответ. 1, 3.

10.

Три ученика решили вместе 100 задач, при этом каждый из них решил ровно 60. Будем называть задачу, которую решили все трое, лёгкой, а задачу, которую решил только один из них, — трудной. На сколько больше трудных задач, чем лёгких?

Ответ

Ответ. 20.

Часть Б

11

На поджаривание котлеты с одной стороны уходит 2 минуты. На сковородке помещается 2 котлеты. Можно ли поджарить три котлеты с обеих сторон за 6 минут?

Ответ Решение

Ответ. Да, можно.

Решение. Пронумеруем котлеты числами от 1 до 3. На первые две минуты положим жарится котлеты 1 и 2. На следующие две минуты — котлеты 2 и 3. Тогда котлета 2 будет поджарена с двух сторон. И еще на следующие две минуты положим котлеты 3 и 1. Тогда все котлеты будут поджарены с двух сторон за 6 минут.

12.

Поставьте 5 фишек на доску размером 8×8, чтобы любой состоящий из девяти клеток квадрат содержал ровно одну фишку.

Ответ

Ответ.

13.

В синем, красном и жёлтом горшках, стоящих в ряд на подоконнике, растут красная герань, синяя незабудка и желтая лилия. Известно, что ни один цветок не растет в горшке того же цвета. Лилия растет правее всех, а в центре нет ничего красного. Определите, в каком порядке растут цветы и какого цвета у них горшки.

Ответ Решение

Ответ. (Слева направо) герань в синем горшке, незабудка в желтом горшке и лилия в красном горшке.

Решение. Так как лилия растет правее всех, а в центре нет ничего красного, то герань растет левее всех. Значит, незабудка растет в центре. У нее не красный и не синий горшок, следовательно, у нее желтый горшок. Тогда у лилии красный горшок и у герани синий.

14.

В однокруговом турнире по футболу (каждая команда сыграла с каждой ровно один раз) участвовало 8 команд, которые набрали 15, 14, 13, 9, 8, 7, 4 и 3 очка. За победу присуждалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Сколько матчей в турнире закончилось вничью?

Ответ Решение

Ответ. 11.

Решение. Заметим, что всего игр в таком турнире 7·8⁄2 = 28, а всего очков набрано 15 + 14 + 13 + 9 + 8 + 7 + 4 + 3 = 29 + 22 + 15 + 7 = 51 + 22 = 73. Пусть d игр было сыграно в ничью; тогда всего очков было набрано 2d + 3·(28 − d) = 84 − d. Тогда 84 − d = 73, и d = 11.

15.

Назовём положительную числовую дробь интересной, если сумма её числителя и знаменателя равна 17. Всякую ли дробь можно выразить через интересные с помощью сложения и вычитания?

Ответ Решение

Ответ. Нет, не всякую.

Решение. Предположим, что всякая дробь представима. Пусть a₁⁄b₁, a₂⁄b₂, ..., a_n⁄b_n — все интересные дроби. Пусть λ₁, λ₂, ..., λ_n — коэффициенты для чисел a_i⁄b_i для получения дроби 1⁄(2b₁b₂… b_n). Тогда

λ1	a1	+	...	+	λn	an	=	1
	b1					bn		2b1b1...bn

После домножения обеих частей на 2b₁b₂...b_n, получим, что число 1 представимо в виде суммы четных чисел. Получили противоречие. Значит, не всякая дробы представима.