МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Первое занятие (18 сентября 2010 года)

1.

Однажды в мебельном магазине между клиентом K и продавцами П1, П2 произошёл следующий разговор:
К: Сколько стоит этот диван?
П1: 60000 рублей.
К: Так дорого?!
П2: Не удивляйтесь, он все числа завышает в 3 раза!
К: Ага, значит, диван стоит 20000?
П1: Это Вам сказал мой напарник? Не верьте! Он ведь все числа занижает в 12 раз!
Сколько же на самом деле стоит диван, если продавцы всегда изменяют все числа — каждый в своё число раз, а в остальном говорят правду?

Решение Ответ

Решение. Если П1 завышает числа в x раз, то П2 — занижает в ¹²/_x раз, и значит, П1 завышает в 3·¹²/_x, откуда x=3·¹²/_x, а значит, x=6, и диван стоит 60000⁄6 рублей.

Ответ. 10000 рублей.

2.

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH, из точки H на стороны AB и AC опущены перпендикуляры HE и HF. Докажите, что точки B, C, E и F лежат на одной окружности.

3.

Петя и Вася играют в игру: на белой доске 3×3 с центральной чёрной клеткой они по очереди перекрашивают клетки в противоположный цвет, Петя каждым своим ходом — все клетки одной строки, а Вася — одного столбца. Выигрывает тот, кто перекрасит все клетки в чёрный цвет. Может ли Петя, начиная игру, помешать выиграть Васе?

Решение Ответ

Решение. Выделим любой квадрат 2×2. Непосредственно проверяется, что при каждом ходе чётность числа белых (и чётность числа чёрных) клеток в нём не меняется (оставаясь нечётной) и, значит, не может стать нулевой, как если бы квадрат был весь перекрашен в чёрный цвет. Значит, ни один из игроков не может выиграть.

Ответ. Да, играя как угодно.

4.

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом отрезками, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых.

5.

На координатной плоскости Oxy — три грозных копья: x = ±1 при y > 1, x = 0 при y < − 1. Парабола y = ax² + bx + c хочет расположиться на плоскости, не задев копья, разве лишь коснувшись. Найдите все a > 0, при которых ей это удастся при некоторых b и c.

Ответ

Ответ. 0 < a ≤ 2.