МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 11. Разумный перебор

–

Четверо пятиклассников, Аня, Боря, Ваня и Галя, начали собирать марки. К концу четверти один из них собрал шесть марок, другой ­– четыре, третий – три, и наконец четвертый – только две. После того, как Боря подарил Ане на день рождения все свои марки, у нее стало в два раза больше марок, чем у Гали. Сколько марок собрала Галя?

–

Мультфильм показывали целое число минут. Когда посмотрели в программке время начала и конца показа (минуты и часы по 24-часовой шкале), оказалось, что в записи использованы 8 различных цифр. Какое наименьшее время мог идти мультфильм?

1.

Знаменитый преступник профессор Мориарти проник в банк, но так и не смог подобрать трехзначный код от сейфа. Шерлок Холмс по отпечаткам пальцев обнаружил, что Мориарти успел попробовать комбинации 543, 142 и 562, после чего его спугнул охранник. Оказалось, что в каждом из этих вариантов профессор угадал ровно одну цифру кода. Узнав это, Шерлок Холмс тут же сказал код от сейфа. А вы сможете?

2.

Расставьте недостающие различные натуральные числа в клетках таблицы 3×3 так, чтобы суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были одинаковыми. (Приведите хотя бы один вариант такой расстановки).

		2
	6
10

3.

В коробке лежат синие, красные и зеленые карандаши. Всего 20 штук. Синих в 3 раз больше, чем зеленых, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей? (Укажите все ответы и докажите, что других нет.)

4.

Шесть костяшек домино выложены точками вниз так, как показано на рисунке, но в соответствии с правилами. Какое наименьшее количество точек может быть на всех шести костях вместе? (Напомним, что кость домино состоит из двух клеток, в каждой из которых от 0 до 6 точек; если у клеток двух разных костей есть общая сторона, в этих клетках должно быть поровну точек.)

5.

В коробке лежат костяшки домино (см. рисунок). Как расположены кости?

6.

У Кости есть фонарик и 5 аккумуляторов. Косте известно, что 3 аккумулятора заряжены (но неизвестно, какие именно), а остальные разряжены. Костя может вставить в фонарик два аккумулятора, и если оба заряжены, то лампочка загорится, а иначе — нет. Как ему за 3 таких проверки найти два заряженных аккумулятора?

7.

Аня, Боря и Вася и Гена прошли один и тот же тест из 6 вопросов, на каждый из которых можно ответить „да” или „нет”.
Аня ответила „нет”, „нет”, „да”, „да”, „да”, „да”.
Боря ответил „да”, „нет”, „нет”, „да”, „да”, „да”.
Вася ответил „нет”, „нет”, „нет”, „да”, „да”, „да”.
Гена ответил „нет”, „да”, „нет”, „нет”, „нет”, „нет”.
Оказалось, что у Ани два неверных ответа, а у Бори только два верных. Сколько верных ответов у Васи, и сколько у Гены? (по мотивам Közepiskolai Matematikai Lapok, 2009)

8.

Первая слева цифра десятизначного числа равна числу единиц в записи этого числа, вторая – числу двоек, третья – числу троек, четвертая – числу четверок, …, девятая – числу девяток, десятая – числу нулей. Найдите это число.

9.

Поставьте вместо многоточий числа, чтобы получилось истинное высказывание: В этом предложении цифра 0 встречается … раз, цифра 1 – … раз, 2 – … раз, 3 – … раз, 4 – … раз, 5 – … раз, 6 – … раз, 7 – … раз, 8 – … раз, 9 – … раз.

10.

Папе, маме, сыну и бабушке нужно темной ночью перейти по хлипкому мостику через реку. Мостик может выдержать только двоих одновременно. К тому же на всех имеется только один фонарик, без которого нельзя сделать ни шагу. Папа может перейти через мостик в одну сторону за 1 минуту, мама – за 2 минуты, сын – за 5, а бабушка – за 10. За какое минимальное время все они смогут перебраться на другой берег? (Когда через мостик идут двое, они идут со скоростью того, кто ходит медленнее).