МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 10 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2009/2010 учебный год

Комбинаторная геометрия (06.02.2010)

1.
Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах клеток, две медианы которого перпендикулярны.
2.
Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными разрезами (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что среди этих квадратов есть два одинаковых.
3.
Докажите, что многоугольник, вершины которого расположены в узлах целочисленной решётки, а длины сторон — целые числа, имеет чётный периметр.
4.
Квадрат разрезали на равные прямоугольные равнобедренные треугольники. Сколько треугольников могло получиться?
5.
Из доски 8×8 вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать полученную фигуру?
6.
Правильный 1997-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Докажите, что среди них ровно один остроугольный.
7.
а)
На прямой расположены 2n + 1 отрезков. Любой из них пересекается по крайней мере с n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.
б)
На плоскости расположены [4/3·n] прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n другими. Докажите, что найдётся прямоугольник, пересекающийся со всеми остальными.