МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Кружок 9-11 классов
2009/2010 учебный год
19 сентября: первое занятие.
26 сентября, 3 ноября: тема 1 «Инвариант». 10 и 17 ноября: инварианты Дена, решение третьей проблемы Гильберта (неравносоставленность куба и правильного тетраэдра) — по книге В. Г. Болтянского «Третья проблема Гильберта».
24 и 31 октября: тема 2 «Центр масс и его применение для решения геометрических задач».
7 и 14 ноября: тема 3 «Движения. Теорема Шаля».
Теорема Шаля. Всякое движение плоскости есть либо параллельный перенос, либо поворот, либо скользящая симметрия.
14 и 21 ноября: тема 3' «Комплексные числа»: основные определения; параллельный перенос, поворот и симметрия на комплексной плоскости; корни из единицы и их применение для вычисления сумм биномиальных коэффициентов: Cn0 + Cn4 + Cn8 + Cn12 + …, Cn0 + Cn3 + Cn6 + Cn9 + ….
28 ноября, 5 декабря: тема 4 «Инверсия».
23 января: тема 5 «Симметрия в алгебре».
30 января: ещё немного про комплексные числа и корни из единицы.
6 февраля: многочлены Чебышёва.
13 февраля: решение кубического уравнения (формула Кардано, тригонометрическая формула Виета); решение уравнения 4-й степени (метод Феррари).
20 февраля: правильные многоугольники на решётке и иррациональность чисел cos π/n при n ≠ 1,2,3.
6 марта: олимпиадные задачи.
13 и 20 марта: графы на плоскости: формула Эйлера, непланарность графов K5 и K3,3, теорема о пяти красках, классификация правильных многогранников.
27 марта: задача про перчатки; игры: выигрышная стратегия, выигрышные и проигрышные позиции, анализ игры «Ним».
10 и 17 апреля: теорема Понтрягина — Куратовского (по мотивам статьи А. Б. Скопенкова «Вокруг критерия Куратовского планарности графов», arXiv:0802.3820v2).