МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Листок 0. Вступительная работа

1.

Предположим, что 12 из 13 родов завершаются рождением одного ребёнка, а в одном случае из 13 рождаются двое — близнецы. Какую часть общего числа новорождённых составляет число новорождённых близнецов?

2.

Плывя по течению реки Миссисипи, доктор Айболит на середине своего пути из Дюбюка в Клинтон встретил своего старого друга Бармалея, плывущего против течения из Клинтона в Дюбюк. Если предположить, что доктор Айболит плыл вдвое медленнее течения, а скорость Бармалея вдвое превысила скорость течения реки, то кто из них плыл дольше по времени до места их встречи и во сколько раз?

3.

Карабас Барабас зарыл клад на острове среди 20 деревьев. После этого он написал завещание, в котором указал, как искать клад: надо встать к первому дереву, пройти половину расстояния до второго дерева, затем повернуть к третьему и пройти треть расстояния до него, затем повернуть к четвёртому и пройти четверть расстояния до него, и т.д., наконец, повернуть к двадцатому и пройти двадцатую часть расстояния до него. К сожалению, Карабас забыл указать, как занумерованы деревья! Сколько разных ям придётся выкопать потомкам Барабаса, чтобы всё-таки найти клад?

4.

Пусть a, b, c положительные числа. Докажите, что

a	+	b	+	c	≥	3	,
b + c		c + a		a + b		2

и что равенство имеет место тогда и только тогда, когда a = b = c.

5.

Какова максимальная площадь прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого составляет 1 световой год?