МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Кружок 7 класса
Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год
2005/2006 учебный год
Листок 20. Вторая регата.
- 1.
-
Как изменится площадь прямоугольника, если
одну его сторону увеличить на 10%, а другую —
уменьшить на 10%?
Ответ. Уменьшится на 1%.Решение.
- 2.
-
Вася влил стакан кислоты в банку с водой. Получился 10-процентный
раствор кислоты в воде. Потом он добавил ещё один такой же
стакан кислоты. Какой раствор получился?
Ответ. Отношение кислоты к воде будет равно 2:9, то есть доля кислоты в растворе 2/11.Решение. После первого вливания в банке оказался 10-процентный раствор, то есть на 9 частей (90%) воды приходилась одна часть (10%) кислоты. Потом к имеющейся жидкости добавили столько же кислоты, сколько в первый раз, то есть ещё одну часть. Получили 9 частей воды и 2 части кислоты. Доля кислоты в таком растворе равна
2 = 2 2 + 9 11 - 3.
-
Найдите минимальное целое число, большее 40 100 и являющееся точным квадратом
(другого целого числа).
Ответ. 201² = 40 401.Решение. Во-первых заметим, что данное число близкó к числу 40 000, которое является квадратом числа 200. Следующий точный квадрат — это число 201². Проверим, больше оно, чем 40 100, или меньше. Вычисление даёт 201² = 40 401, то есть оно больше 40 100 и даёт ответ задаче.
- 4.
- Нарисуйте фигуру из 11 точек и нескольких отрезков между ними, так чтобы каждая точка была соединена ровно с двумя другими.
- 5.
-
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 8×6
(8 столбцов, 6 строк).
Можно ли поставить в нём крестики, чтобы в каждой строке
стояло 3 крестика, а в каждом столбце — 2?
Ответ. Нельзя.Решение. Подсчитаем общее количество крестиков в таблице. С одной стороны оно равно произведению количества строк на количество крестиков в каждой строке: 6×3 = 18. С другой стороны его можно вычислить, как произведению количества столбцов на количество крестиков в каждом столбце: 8×2 = 16. Как видим, получились разные числа. Это противоречие, так как количество крестиков в таблице не должно зависеть от способа подсчёта. Значит, такая расстаноква невозможна.
- 6.
-
В строчку написано 10 чисел, причём сумма любых
последовательных трёх чисел равна 15. Первое число
равно 7. Чему может быть равно последнее число (все варианты)?
Ответ. 7.Решение. Пусть есть ряд чисел:
Пока мы знаем только первое число. Выяснять, что стоит на каждом месте не будем, определим только числа в позициях, отмеченных вопросом. По условию7 
?1 
?2 
?3 7 + Сумму +
= 15 =
+
+ ?1. +
можно
в обеих частях сократить: 7 = ?1, получаем ряд
Так же поступим и со следующим вопросиком:7 7 ?2 ?3 7 + Сокращаем +
= 15 =
+
+ ?2. +
:
7 = ?2. На этом месте опять стоит семёрка!
Аналогично имеем7 7 7 ?3 7 + После сокращения +
= 15 =
+
+ ?3. +
вновь получаем 7 = ?3:
7 7 7 7 - 7.
-
Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что
ab=2, bc=3, cd=4, de=5. Чему равно e/a?
Ответ. 15/8.Решение.
e = de = bde = bcde = (bc)·(de) = 3 · 5 = 15 a ad abd abcd (ab)·(cd) 2 · 4 8 - 8.
-
Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол?
Ответ. 44.
- 9.
-
Найдите положительное целое число n, если известно, что
(n+2)(n+3)(n+5)(n+7) = 4158.
Ответ. 4.Решение. Сначала разложим число 4158 на простые множители:
4158 = 2 · 3³ · 7 · 11. Теперь надо из его делителей составить 4 числа, два из которых идут подряд ((n+2) и (n+3)), следующая пара даёт скачёк в 2 единицы (от (n+3) до (n+5)), а последние два снова дают скачок на 2 единицы (от (n+5) до (n+7)). Между 7 и 11 разница равна 4. Это может быть пара (n+3) и (n+7), надо из оставшихся чисел составить (n+2)=6 и (n+5)=9. Это действительно можно сделать. Достаточно положить (n+2)=6=2·3, а (n+5)=9=3³. Чтобы все эти равенства:- n + 2 = 6;
- n + 3 = 7;
- n + 5 = 9;
- n + 7 = 11;
- 10.
-
Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю
дроби 11/41, чтобы её значение стало равно 3/8?
Ответ. 7.Решение. Обозначим это число x. Получаем:
11 + x = 3 41 + x 8 (11 + x)8 = (41 + x)3; 88 + 8x = 123 + 3x; (8 − 3)x = 123 − 88; 5x = 35; x = 7. - 11.
-
На прямой дороге стоят шесть домов. В каком месте дороги
надо построить автобусную остановку, чтобы сумма растояний
от неё до этих домов была минимальной?
- 12.
-
Среди утверждений «x > 1», «x > 2»,
«x > 3», «x > 4», «x > 5»
три верных и два неверных. Какие?
Ответ. Первые три верны, последние два ложны.Решение.
Если последнее утверждение верно, x больше пяти, и все остальные утверждения о том, что x больше одного, двух и так далее тоже окажутся верны автоматически. В этом случае нам не удастся выбрать два неверных утверждения из нашего набора. Значит последнее утверждение ложно.
Аналогично, если предпоследнее утверждение верно, то оно разрешит быть ложным только одному утверждению — последнему, а остальные заставит выполниться. Неверных утверждений опять не достаточно, значит предпоследнее утверждение ложно.
Теперь мы уже набрали нужное нам количество ложных утверждений. Остальные должны быть верными. Это произойдёт, например, при x = 3½.
Ответ: первые три верны, последние два ложны.
- 13.
-
Аппарат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат
со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя
несколько раз этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику,
Вася в конце концов разделил его на два больших квадрата,
три квадрата поменьше и пять маленьких квадратов со стороной 1.
Какой прямоугольник у него был?
Ответ. 37 × 16.
- 14.
-
Каждая клетка доски 50×50 покрашена в один из четырёх цветов:
белый, синий, красный, зелёный. Клетки одного цвета не имеют
общих сторон и общих углов. Сколько красных клеток?
Ответ. 625.Решение. Разделим доску на квадраты 2×2. В одном таком квадрате каждая клетка соседствует с каждой (либо по горизонтали, либо по вертикали, либо по диагонали), значит в каждом квадрате все клетки раскрашены по-разному. Отсюда получаем, что каждым цветом, в том числе и красным, окрашена ровно четверть клеток:
50·50/4 = 25×25 = 625. Для полноты решения надо доказать, что такая раскраска возможна:
- 15.
-
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за
1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут.
У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост
за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут со скоростью более медленного
(то есть мама с малышом перейдут мост за то же время, что и малыш один). Двигаться
по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках
нельзя. Кидать фонарик тоже нельзя.)
Ответ.
Прошло времени Время на шаг 2 2 Папа с мамой идут через мост 3 1 Папа несёт фонарик обратно 13 10 Малыш и бабушка переходят мост 15 2 Мама несёт фонарик обратно 17 2 Папа с мамой идут через мост - 16.
-
Можно ли одним прямолинейным разрезом поделить на равные части
прямоугольный кусок хлеба и лежащий на нём круглый кусок колбасы?
Решение. Надо провести прямую через центры круга и прямоугольника.
