МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2004/2005 учебный год

Листок 0. Вступительная работа

1.
Решите уравнение (3x - 1)(x - 3) = 0

Ответ Указание 1 Указание 2

Ответ. x=1/3 и x=3
Указание 1. Подумайте, в каких случаях a×b=0
Указание 2. a×b=0 только если либо a=0, либо b=0.
2.
На доске были написаны 4 натуральных числа. Их сложили всевозможными способами по два и получили следующие шесть сумм: 2, 4, 4, 9, 9, 11. Какие числа были написаны на доске?

Ответ

Ответ. 1, 1, 3, 8
3.
Докажите, что медиана AM в треугольнике ABC по длине больше, чем (AB + AC − BC)⁄2.

Указание

Указание. Вспомните неравенство треугольника. Применить его надо дважды.
4.
Трём геологам надо добраться до станции в 60 км от их базы за 3 часа. Могут ли они это сделать, если у них есть мотоцикл, на котором можно ехать не более чем двоим со скоростью 50 км/час, а пешком они передвигаются со скоростью 5 км/час?

Ответ

Ответ. Могут
5.
На острове Невезения живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные говорят только правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:
  • Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?
  • Поклоняетесь ли Вы богу Луны?
  • Поклоняетесь ли Вы богу Земли?
На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй — 40 человек, а на третий — 30 человек. Сколько лжецов на острове?

Ответ Наводящий вопрос

Наводящий вопрос. На сколько вопросов ответит «да» лжец и на сколько вопросов «да» ответит правдивый житель острова?
6.
Гриб называем плохим, если в нём больше 11 червяков. Червяк тощий, если он съел не более 1⁄5 гриба, в котором живёт. Четверть всех грибов в лесу плохие. Докажите, что не менее трети всех червяков тощие.
7.
Каких пятизначных чисел с суммой цифр, равной 37, больше: чётных или нечётных?

Ответ Подсказка

Ответ. Нечётных больше на одно.
Подсказка. Из всякого чётного числа с суммой цифр 37 можно легко сделать нечётное.