МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Замените звёздочки в записи числа 72*3* цифрами так, чтобы число делилось без остатка на 45.
 

Каждый из 33 школьников написал две контрольные работы и получил за каждую из них одну из оценок 2, 3, 4 или 5. Докажите, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки за каждую из работ.
 

Напишите какое-нибудь уравнение, равносильное неравенству х ≥ 1, то есть уравнение, множеством решений которого является луч [1;+oo).
 

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 2, при делении на 7 — остаток 4, а при делении на 9 — остаток 7.
 

В стакан, в котором находились 1000 бактерий, поместили вирус. Каждую минуту каждый из имеющихся в стакане вирусов съедает одну бактерию, после чего каждая из оставшихся бактерий делится на две бактерии, а каждый вирус — на два вируса. Наступит ли момент, когда в стакане не останется ни одной бактерии? Если да, то когда?
 

В треугольнике ABC проведены высоты AM и BN. Найдите величину угла NMA, если величина угла BAC равна 60°.
 

а) Можно ли выписать в ряд 10 чисел так, чтобы сумма любых трёх рядом стоящих чисел была положительной, а сумма всех чисел — отрицательной?

б) Можно ли выписать 10 чисел так, чтобы сумма любых трёх из них была положительной, а сумма всех чисел — отрицательной?