МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 7

1.

В классе все увлекаются математикой или биологией. Сколько человек в классе, если математикой занимаются 15 человек, биологией — 20, а математикой и биологией — 10?

2.

Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? (Укажите все решения.)

3.

Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?

4.

На Острове живут рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, всегда обманывающие. Какой вопрос вы задали бы жителю Острова, чтобы узнать, живет ли у него дома ручной крокодил?

5.

Сколько у меня может быть цветов, если все из них кроме двух розы, все кроме двух — тюльпаны, и все кроме двух маргаритки?

6.

Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В лесу 99% сосен. Мы будем рубить только сосны. После рубки сосны будут составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса вырубит леспромхоз?

7.

В трех коробках лежат шары: в одной — два белых, в другой — два черных, в третьей — белый и черный. На коробках наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждой из коробок не соответствует этикетке. Как, вынув один шар, узнать, в какой коробке что лежит?

8.

Есть песочные часы: одни на 7 минут, другие на 11. а) Яйцо варится 15 минут (возможно, с перерывами). Как отмерить это время с помощью имеющихся часов? б) А если надо потратить на варку 15 минут без перерыва, но можно готовить часы заранее?

9.

Жестокое племя дикарей-людоедов поймало Робинзона Крузо. Вождь племени сказал Робинзону: «Мы с радостью отпустим тебя домой, но по законам нашего племени ты должен сначала сказать какое-нибудь утверждение. И если оно окажется правдивым, мы съедим тебя; если же оно окажется ложным, тебя съест наш ручной лев». Что может сказать Робинзон Крузо, чтобы дикари вынуждены были отпустить его целым и невредимым?

10.

Двое игроков поочередно выкладывают на круглый стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто из них всегда сможет выиграть?

11.

Назовем натуральное число «изумительным», если оно имеет вид a^b + b^a (где a и b — натуральные числа). Например, число 17 — изумительное, так как 17=2³ + 3². Является ли изумительным число 2008?

12.

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду), либо лжец (который всегда лжет). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: «Он рыцарь!» либо «Он лжец!». Могло ли оказаться, что тех и других фраз сказано поровну?

13.

Города А и Б стоят по разные стороны реки, берега которой — параллельные прямые. Жители этих городов решили построить мост через реку, перпендикулярный её берегам, и соединить концы моста с городами прямыми дорогами. Где нужно построить мост, чтобы получился кратчайший путь из А в Б?

14.

Двое игроков поочередно выкладывают на круглый стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто из них всегда сможет выиграть?

15.

В стране три города: А, Б и В. Жители города А всегда говорят правду, города Б — лгут, а города В — строго попеременно лгут и говорят правду. В одном из городов случился пожар. Дежурному на каланче позвонили. Состоялся такой диалог:
— У нас пожар!
— Где горит?
— В городе В.
Куда ехать пожарным?

Дополнительные задачи

16.

Неуловимый Джо никогда не проигрывает на рулетке больше четырех раз подряд и никогда не ставит больше 10 долларов. Как ему выиграть 1000 долларов? В рулетку можно только выиграть или проиграть. В случае проигрыша ставка теряется, в случае выигрыша возвращается в удвоенном размере.

17.

Король устроил испытание жениху своей дочери. В одну из трех комнат он посадил принцессу, в другую — тигра, а последнюю комнату оставил пустой. Известно, что табличка на той двери, где сидит принцесса, истинна, где тигр - ложна, а про табличку на третьей комнате ничего не известно. Таблички эти таковы:
1: Комната 3 пуста;
2: Тигр в комнате 1;
3: Эта комната пуста;
Сможет ли принц правильно угадать комнату с принцессой?

18.

В Муромском лесу есть десять источников мёртвой воды: от №1 до №10. Из первых девяти источников воду может взять каждый, но десятый находится в пещере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может. На вкус и цвет мёртвая вода ничем не отличается от обыкновенной, однако, если человек выпьет из какого-нибудь источника, то спасти его от смерти может только одно: если он запьёт ядом из источника, номер которого больше. Например, если он выпьет из седьмого источника, то ему надо обязательно запить ядом №8, №9 или №10. А если он сразу выпьет десятый яд, то ему уже ничто не поможет. Иванушка-дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и даёт её выпить своему противнику. Кощей обрадовался: «Ура! Я дам яд №10, и Иванушка-дурачок не сможет спастись! А сам выпью яд, который Иванушка-дурачок мне принесёт, запью его своим десятым и спасусь!» В назначенный день оба противника встретились в условленном месте, честно обменялись кружками и выпили то, что в них было. Какова же была радость обитателей Муромского леса, когда оказалось, что Кощей умер, а Иванушка-дурачок остался жив! Попробуйте догадаться, как Иванушке удалось победить.