МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 11

1.

Сколько квадратов

а)

изображено на рис. 1?

Ответ

Ответ. 14.

б)

можно изобразить с вершинами в точках на рис. 2?

Ответ

Ответ. 20.

Рис. 1	Рис. 2

2.

Шахматный конь ходит по диагонали прямоугольника 2×3 (или, что то же, 3×2). Может ли он обойти все поля доски 3×3, побывав на каждом поле по одному разу?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. На центральное поле конь не может попасть ни с одного другого поля.

3.

У квадрата n×n закрасили все клетки по периметру. При каких n закрашенных клеток меньше, чем незакрашенных?

Ответ Решение

Ответ. При n > 6.

Решение. Прямой подсчёт показывает, что n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 не подходят. При n ≥ 7 число неокрашенных клеток не меньше 5(n − 2), а окрашенных клеток всего 4(n − 1). Поскольку 4(n − 1) < 5(n − 2) (т. к. n > 6), при n ≥ 7 окрашенных клеток больше, чем неокрашенных.

4.

Какие общие делители есть у чисел а) 2009 и 2010; б) 2009 и 2011?

Ответ Указание

Ответ. а) 1. б) 1.

Указание. Любой общий делитель двух чисел делит их разность.

5.

Рис. 3

а)

Найдите отношение площадей самого большого и самого маленького квадратов на рис. 3.

б)

Что можно сказать про площадь самого среднего квадрата на том же рисунке?

Ответ Решение

Ответ. Площади маленького, среднего и большого квадратов относятся как 1 : 2 : 4.

Решение. Квадрат, вершины которого являются серединами сторон другого квадрата, в два раза меньше того по площади. Это видно из рисунка, на котором квадраты разрезаны на равные треугольники. Значит, средний квадрат вдвое меньше большого, а самый маленький вдвое меньше среднего.

6.

Семиклассник Сёма придумал новый признак равенства треугольников: если две стороны и угол не между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу не между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Прав ли Сёма?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Треугольники ABC и ABD на рисунке не равны, хотя условия «признака» выполняются.

7.

Рис. 4

На окружности с центром O последовательно отмечают точки A₁, A₂, A₃, ... (первые несколько можно увидеть на рис. 4) так, что ∠A₁OA₂ = ∠A₂OA₃ = ... = 19°.

а)

Чему равен ∠A₁OA₂₀?

б)

Какая точка первой попадёт в число уже отмеченных?

Ответ Решение

Ответ. а) 1°. б) A₃₆₁.

Решение. а) 19² = 361.
б) Из пункта а) мы знаем, что после 19 шагов (поворотов на 19°) точка смещается относительно исходной на 1°. Кроме того, если точка попадёт в уже отмеченную, то после этого новых точек не появится: все последующие точки будут попадать в уже отмеченные. Значит, совпадение произойдёт в точности тогда, когда будут отмечены все точки B, такие что ∠A₁OB выражается целым числом градусов. Всего таких точек 360, поэтому первой точкой, уже отмеченной ранее, будет 361-я точка A₃₆₁.

Дополнительные задачи

8.

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на части, из которых можно сложить квадрат.

9.

Дан угол величиной 7°. С помощью циркуля и линейки постройте угол величиной 1°.

10.

Из пункта A в пункт B вышел пешеход и одновременно с ним из B в A выехал мотоциклист. Встретив пешехода, мотоциклист развернулся, довёз пешехода до пункта B, а затем добрался до пункта A. Во сколько раз в результате непредусмотренных разъездов мотоциклист проиграл во времени, если пешеход, наоборот, выиграл во времени в 4 раза?