МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Листок 3. Чётность.

1.

В парламенте две палаты, в которых депутатов поровну. В важном голосовании приняли участие все депутаты, причём воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с перевесом в 23 голоса, лидер оппозиции пожаловался, что результаты опять фальсифицированы. Как он догадался?

2.

Кузнечик умеет прыгать вдоль прямой на 6 см и на 8 см (в любую сторону). Сможет ли он попасть в точку, расстояние от которой до исходной равно a) 1,5 см; b) 7 см; c) 4 см?

3.

Петя играет с Васей. Сначала Петя и Вася пишут по одному натуральному числу каждый, затем эти числа перемножают. Если результат чётен, то выиграл Петя; если нечётен, то выиграл Вася. У кого из двух мальчиков есть выигрышная стратегия?

4.

Существуют ли такие целые числа a и b, что (a + b) · a · b = 12345?

5.

a) Существует ли шестизвенная замкнутая ломаная, каждое звено которой пересекается ровно с одним другим звеном? b) Cуществует ли такая семизвенная ломаная? c) А восьмизвенная?

6.

Шахматный конь стоит в левом нижнем углу доски. Может ли он через a) 3; b) 4; c) 2008; d) 2009 ходов вернуться на исходное поле?

7.

Можно ли разрезать шахматную доску 8x8 на трёхклеточные уголки?

8.

Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии ровно 1 м, которые окрашены a) в один цвет; b) в разные цвета

9.

Восемь землекопов за восемь часов выкопали восемь ям. Сколько ям выкопают двенадцать землекопов за двенадцать часов?

10.

Игра «Делимость». a) Света и Аня по очереди слева направо пишут цифры четырёхзначного числа. Первую — Света, вторую — Аня, третью — Света, четвёртую — Аня. Если полученное число делится на 9, то выиграет Аня, иначе — Света. У кого — Светы или Ани — есть выигрышная стратегия? b) Та же игра, но проверяем делимость не на 9, а на 11, c) Та же игра, но проверяем делимость на 12.

11.

По кругу написаны числа: 1, 0, 0, 0, 0, 0. Разрешено одновременно увеличивать на 1 а) два; б) три любых соседних числа. Можно ли сделать все шесть чисел равными?

12.

Можно ли составить магический квадрат (суммы чисел по столбцам и по строкам равны) из первых 36 простых чисел?

13.

Маша начала считать свои пальцы от большого до мизинца. Досчитав до пяти, она продолжила счёт в обратном направлении. Таким образом, большой палец стал девятым. Потом она опять продолжила счёт в обратную сторону. Досчитав до 2003, она остановила счёт. На каком пальце?